二元函數

二元函數

設平面點集D包含於R,若按照某對應法則f,D中每一點P(x,y)都有唯一的實數z與之對應，則稱f為在D上的二元函數.

且稱D為f的定義域,P對應的z為f在點P的函數值，記作z=f(x,y);全體函數值的集合稱為f的值域.

一般來說，二元函數是空間的曲面，如雙曲拋物面(馬鞍形)z=xy.

二元函數可以認為是有兩個自變數一個因變數，可以認為是三維的函數，空間函數。

目錄

1連續性特徵 2一致連續性 3可微性特徵特徵定義

連續性特徵

f為定義在點集D上的二元函數.P為D中的一點。對於任意給定的正數ε,總存在相應的正數δ,只要P在P的δ臨域和D的交集內，就有|f(P0)-f(P)|<ε,則稱f關於集合D在點P處連續.

若f在D上任何點都連續，則稱f是D上的連續函數.

一致連續性

與連續性的定義相似

對於任意給定的ε>0,存在某一個正數δ,對於D上任意一點P,只要P在P的δ鄰域與D的交集內，就有|f(P)-f(P)|<ε,則稱f關於集合D一致連續.

一致連續比連續的條件要苛刻很多.

可微性特徵

特徵定義

設函數z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內有定義，對這個鄰域中的點P(x,y)=(x+△x,y+△y),若函數f在P點處的增量△z可表示為:

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是僅與P0有關的常數,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是較ρ高階無窮小量，即當ρ趨於零是o(ρ)/ρ趨於零。則稱f在P點可微.

幾何意義

可微的充要條件是曲面z=f(x,y)在點P(x,y,f(x,y))存在不平行於z軸的切平面Π的充要條件是函數f在點P(x,y)可微.

這個切面的方程應為Z-z=A(X-x)+B(Y-y)

A,B的意義如定義所示

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