積性函數

在非數論的領域，積性函數指所有對於任何a,b都有性質的函數。

在數論中的積性函數：對於正整數n的一個算術函數 f(n)，若，且當a,b互質時，在數論上就稱它為積性函數。若對於某積性函數 f(n) ，就算a, b不互質，也有，則稱它為完全積性的。

φ(n) －歐拉函數，計算與n互質的正整數之數目

μ(n) －莫比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目

gcd(n,k) －最大公因子，當k固定的情況

d(n) －n的正因子數目

σ(n) －n的所有正因子之和

σk(n) － 因子函數，n的所有正因子的k次冪之和，當中k可為任何複數。

1(n) －不變的函數，定義為 （完全積性）

Id(n) －單位函數，定義為（完全積性）

Idk(n) －冪函數，對於任何複數、實數k，定義為（完全積性）

ε(n) －定義為：若；若。別稱為“對於狄利克雷卷積的乘法單位”（完全積性）

λ(n) －劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目

γ(n)，定義為，在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目

另外，所有狄利克雷特徵均是完全積性的

非積性函數舉例

馮·曼戈爾特函數：當n是質數p的整數冪，，否則

不大於正整數n的質數的數目π(n)

整數拆分的數目P(n)：一個整數能表示成正整數之和的方法的數目

性質一

積性函數的值完全由質數的冪決定，這和算術基本定理有關。

即是說，若將n表示成質因子分解式

則有

性質二

若f為積性函數且有

則f為完全積性函數。