仿射法線

仿射法線是歐氏空間中曲面法線的推廣。與仿射空間中的超曲面橫截相交的直線，它是歐氏曲面論中法線的仿射類似。若M是維仿射空間A中的非退化超曲面，x是位置向量，Δ是關於布拉施克度量的拉普拉斯運算元，則是M上仿射不變的橫截向量場，稱為M的仿射法向量場。過M的點x且平行於的直線，稱為M在點x的仿射法線。當M嚴格凸時，仿射法線有下述幾何意義：用TM表示M在點x的切超平面，A中平行於TM的超平面π與M的交線界定π上一個凸域Ω，當π平行移動時，Ω的重心描出一條從x出發的曲線，這條曲線在點x的切線，就是M在點x的仿射法線。

幾何學的一個分支學科。主要研究仿射空間中的圖形在仿射對應(仿射變換)下不變的幾何性質和不變數。如共線性，平行性，單比等.n維仿射空間的構成如下：設V是一個n維向量空間，A是一個集合，A中的元素稱為點，如果對於A中兩點P，Q，對應著V中惟一的一個向量，並且這種對應滿足：

1.(V中的零向量).

2.任給A中一點P和V中的向量a，在A中存在惟一的點Q，使得

3.對A中三點P，Q，R，有等式。則稱A為一個n維仿射空間。特別地，當時稱為仿射直線；時稱為仿射平面;時稱為仿射空間。

在歐幾里得平面(空間)中，若不考慮距離的概念，則這個平面(空間)就是一個仿射平面(空間)。如果在仿射平面(空間)中引進無窮遠點，則這樣的平面(空間)就稱為擴大的仿射平面(空間).在擴大的仿射平面(空間)中，對原有的點與無窮遠點不加區別，得到的平面(空間)就是射影平面(空間)。仿射幾何中最重要的變換是仿射變換。這種變換的特徵是將共線三點變成共線三點。仿射幾何中最重要的不變數是單比。其他仿射不變數都可以用單比表示。在仿射平面(空間)中，仿射變換的全體構成一個變換群，稱為仿射變換群，簡稱仿射群。並且在擴大的仿射平面(空間)中，它還是保持無窮遠直線(無窮遠平面)不變的一個射影變換群。因此，仿射群是射影群的子群，仿射幾何是射影幾何的子幾何。

仿射空間是通常三維向量空間的推廣。是這樣的點集合A中的點與一個n維線性空間V中的向量滿足以下的關係：

1.對A中任意有序點對P，Q，存在V中一個向量(稱為P，Q的差向量)，記為PQ。

2.對A中任意三個點P，Q，R有

3.對每個和每個，存在使

這時也稱A為關於V的n維仿射空間，而稱V為差空間。特別地，若取，定義，則上述三條件都是滿足的。因此，V按此定義就是一個n維仿射空間。

即歐幾里得空間。既是幾何學的研究對象，又是代數學的研究對象。在幾何學中，歐氏空間是滿足全部歐幾里得公理的幾何空間。它的幾何是研究幾何圖形的度量性質和度量不變數的歐幾里得幾何(簡稱歐氏幾何)，包括普通平面幾何和立體幾何的全部理論。

歐氏幾何空間按維數的不同而有一維歐氏空間(即歐氏直線)、二維歐氏空間(即歐氏平面)和三維歐氏空間(即普通空間，在幾何學中也常簡稱歐氏空間)。在代數學中，歐氏空間是實數域上的一個線性空間，在其中規定了一個稱為內積的二元實函數。歐氏線性空間的維數可以是任意的自然數。容易在同維數的歐氏幾何空間與歐氏線性空間之間建立直接的聯繫。在歐氏幾何空間中取定一點作為公共的起點，空間每一點就決定一個以該點作為終點的向量。這種向量的全體構成的集合在向量加法和數乘向量的乘法下就是一個線性空間。再以通常向量的數量積作為線性空間中向量的內積，這個線性空間就是一個歐氏線性空間。反之，在線性空間取定基底后，n維線性空間中的向量可以用n元數組作為坐標表示，再把n維歐氏線性空間的向量的坐標看做n維歐氏幾何空間中建立了直角坐標系後點的坐標，這樣就在n維歐氏線性空間的向量和n維歐氏幾何空間的點之間建立了一一對應，並且當取後者的坐標原點作為公共的起點，由後者的每個點作為終點所決定的向量，其坐標正好與前者的對應向量的坐標相同，由其數量積所確定的歐氏線性空間，也與前者完全合一。

總之，按照以上的討論，在同維數的幾何空間和歐氏線性空間之間可以建立一一對應，並在此對應下保持著各自的幾何、代數結構。這也是將後來發展的代數體系與先發展的幾何體系取同一名稱——歐幾里得空間的原因。