黃金律

旋渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕盪開的漣漪，數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……

螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：

φkρ=αe

其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和複合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限循環數。

數，美嗎？

人們很早就對數的美有深刻的認識。其中，公元前六世紀盛行於古希臘的畢達哥斯學派見解較為深刻。他們首先從數學和聲學的觀點去研究音樂節奏的和諧，發現聲音的質的差別（如長短、高低、輕重等）都是由發音體數量方面的差別決定的。例如發音體（如琴弦）長，聲音就長；振動速度快，聲音就高；振動速度慢，聲音就低。因此，音樂的基本原則在於數量關係。

畢達哥斯學派把音樂中的和諧原理推廣到建築、雕刻等其它藝術，探求什麼樣的比例才會產生美的效果，得出了一些經驗性的規範。例如，在歐洲有長久影響的“黃金律”據說是他們發現的（有人說，是蔡泌於一八五四年提出了所謂的“黃金分割律”。所謂黃金分割律“就是取一根線分為兩部分，使長的那部分的平方等於短的那部分乘全線段。”“如果某物的長與寬是按照這個比例所組成的，那麼它就比由其它比例所組成的長方形‘要美’。”）。

這派學者還把數學與和諧的原則應用於天文學的研究，因而形成所謂“諸天音樂”或“宇宙和諧”的概念，認為天上諸星體在遵照一定的軌道運動中，也產生一種和諧的音樂。他們還認為，人體的機能也是和諧的，就象一個“小宇宙”。人體之所以美，是由於它各部分——頭、手、腳、五官等比例適當，動作協調；宇宙之所以美，是由於各個物質單位以及各個星體之間運行的速度、距離、周轉時間等等配合協調。這些都是數的和諧。

中國古代思想家們也有類似的觀點。道家的老子和周易《繫辭傳》，都曾嘗試以數學解釋宇宙生成，後來又衍為周易象數派。《周易》中賁卦的表示樸素之美，離卦的表示華麗之美，以及所謂“極其數，遂定天下之象”，都是類似數學推理的結論。儒家的荀卿也說過：“萬物同宇宙而異體。無宜而有用為人，數也。”莊子把“小我”與“大我”一視同仁，“小年”與“大年”等量齊觀，也略同於畢達哥拉斯學派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印證。所謂“得之於手而應用於心，口不能言，有數存在焉與其間”。這種從數的和諧看出美的思想，深深地影響了後世的中國美學。

黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。我們知道，黃金律不僅是構圖原則，也是自然事物的最佳狀態。中世紀義大利數學家費勃奈舍發現，許多植物葉片、花瓣以及松果殼瓣，從小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，這即是著名的“費勃奈舍數列”：1、2、3、5、8、13、21、34……動物身上的色彩圖案也大體符合黃金比。舞蹈教練、體操專家選擇人材制定的比列尺寸，例如肩寬和腰的比例、腰部以上與腰部以下的比列也都大體符合黃金比。

現代科學家還發現，當大腦呈現的“倍塔”腦電波的高頻與低頻之比是1：0.618的近似值(12.9赫茲與8赫茲之比)時，人的心身最具快感。甚至，當大自然的氣溫（23攝氏度）與人的體溫37攝氏度之比為0.618:1時，最適宜於人的身心健康，最使人感到舒適。另外，數學家們為工農業生產制度的優選法，所提出的配料最佳比例、組織結構的最佳比例等等，也都大體符合黃金律。

然而，這並不意味著黃金律比“自然律”更具有美學意義。我們可以證明，當對數螺線：

φkρ=αe

的等比取黃金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618時，則螺線中同一半徑線上相鄰極半徑之比都有黃金分割關係。事實上，當函數f（X）等於e的X次方時，取X為0.4812,那麼，f（X）=0.618……

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。

確切值為(√5+1)/2 ，即黃金分割數。

黃金分割數是無理數，前面的1024位為:

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374

8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766

7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963

1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053

1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710

1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834

7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764

8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115

8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131

7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175

3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093

9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264

7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149

9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

1076738937 6455606060 5922...

2006年諾貝爾經濟學獎獲得者美國經濟學家、哥倫比亞大學經濟學教授費爾普斯（(Edmund S.Phelps，1933）於1961年提出了確定合理資本積累水平的“黃金定律”（Golden rule，又譯“黃金分割律”、“黃金率”等），即：若使穩態的人均消費達到最大，穩態的人均資本量的選擇應使資本的邊際產量等於勞動（或人口）的增長率。用公式表示：

f'(k*)=n

目前國內關於這一黃金律的資料很少，僅限於簡略介紹。對此山西農業大學張建華先生根據自己的理解，作了如下解釋說明：

首先穩態的人均消費量達到最大，意味著人均消費量達到最大，並且多年保持穩定不變。

其次，穩態的人均資本量不變，意味著人均資本量也不保持不變，

第三，在一個兩部門經濟中，人均消費量保持不變，人均資本量保持不變，意味著人均產量也保持不變。

第四，資本的邊際產量等於勞動或人口的增長率，可能翻譯有誤，其真實意思應該是指產量的增長率等於人口的增長率。

第五，該黃金律還有一個假設前提是規模報酬保持不變，也即資本-產量比率保持不變。

可以假想一個具體的例子來予以說明：

假定某社會有1000人，資本總量2000萬元，第一年產值1000萬元，人口增長率1%。那麼當年投資和消費應如何安排呢？首先可以肯定的是，如果當年投資過少，導致第二年產量增長不足，則由於人口增長，第二年人均消費量就會下降，反過來，如果當年投資過多，則第二年產量增加較多，人均消費量也會隨之提高，但當年的人均消費量會處於較低水平。因此，為了使穩態的人均消費達到最大，並保持穩定，必須適當安排當年的投資與消費。具體做法如下：

首先，計算第二年的人口數為1000×（1+1%）≡1010人

其次，根據人均產量不變，計算第二年的產量應為：1010萬元。人均產量為1萬元。

第三，根據資本產量比率不變，計算第二年的資本量應為：2020萬元，人均資本為2萬元。

第四，根據第二年資本量與第一年資本的差計算第一年投資應為：20萬元

第五，根據總收入等於投資與消費的和，計算第一年消費應為：980萬元。人均消費9800元。

第三年，第四年，依次類推。

另外，費爾普斯還根據黃金律，提出了“最優經濟增長途徑”，即：在技術水平不變的條件下，為實現使人均消費達到最大的均衡增長，應該使儲蓄率等於利潤與產量之比，對此，可以通俗地解釋如下：

首先在一個兩部門經濟中，假定只有資本和勞動兩種生產要素，即產品經濟成本由用於資本的成本支出利潤和用於勞動的成本支出工資兩部分構成，並且經濟成本等於產品產值：

Y=P+W

其次，從個人收入分配去向來講，假定只有消費和儲蓄兩項，即：

Y=C+S

所謂儲蓄率等於利潤與產量之比，也就P/Y=S/Y，由此很容易推出，此時必然有：W/Y=C/Y。因此，所謂最優經濟增長途徑也就是將利潤所得用於資本積累，將工資所得用於生活消費，或者更簡潔地表達為“花掉你的勞動所得，攢起你的資本所得。”