σ-有限測度

σ-有限測度是測度論中的一個概念。給定一個σ-代數，以及其上的一個測度μ，如果 是一個有限的實數（而不是無窮大），那麼就稱這個測度為 有限測度。如果 能夠表示為A之中的可數多個有限測度的子集的並集，

那麼就稱這個測度為 σ-有限測度。如果的某個子集能夠表示為A之中的可數多個有限測度的子集的並集，那麼也稱這個子集擁有σ-有限的測度。

勒貝格測度：實數集R上的勒貝格測度不是有限測度，因為整個實數軸的“長度”，也就是全集R的測度是無窮大。但是，勒貝格測度是σ-有限測度，因為R可以表示為所有形如的區間的並集，而每個區間的測度都是有限的（等於2n）：

計數測度：實數集R上的計數測度，是將任何的子集的元素“個數”作為測度值的測度：含有無窮多個元素的子集的測度就是無窮大。這個測度不是σ-有限測度，因為實數集是不可數的，它不能表示成可數個只包含有限個元素的子集的並集。不過，自然數集{N}上的計數測度就是σ-有限測度，因為全集{N}可以（很自然地）表示成可數個測度為1的子集的並集：

局部緊群：設G是一個局部緊的拓撲群，並且是σ-緊緻的，那麼群上的哈爾測度是σ-有限測度。

σ-有限測度中，全集可以表示為A中的可數個有限測度子集的並集： ，但實際上表示的方法可以不止一種。

與σ-有限測度的概念相關的概念還有 半有限測度和 一致σ-有限測度。半有限測度則是比σ-有限測度更寬泛的一種定義。如果 上的一個測度中，任意一個測度為無窮大的子集都包含有測度為任意大有限值的子集，那麼就說這個測度是半有限測度。任何的σ-有限測度都是半有限測度，只要考慮它的升序表示，但反之則不然。比如說實數集上的計數測度就是半有限測度，但它並不是σ-有限測度。

給定，其上的任何σ-有限測度 都等價於一個 的概率測度。

• 富比尼定理

• 葉戈羅夫定理

• 拉東-尼科迪姆定理