曾遠榮

曾遠榮（1903～1994）字桂冬，四川省南溪縣劉家鎮人。民國2年（1913年）就讀於縣立高等小學堂，民國6年（1917年）考人省立江安中學。民國16年（1927年）畢業於北京清華大學。同年赴美國留學，先後在美國芝加哥大學、普林斯頓大學及耶魯大學半工半讀。民國22年（1933年）春，在芝加哥大學取得博士學位。民國24年（1935年）5月回國后，受聘為台灣中央大學教授。民國24至31年，先後任清華大學及西南聯大教授。民國31年（1942年），受聘為燕京大學客座教授。民國34年至1950年7月，受聘於四川大學任數學系主任兼理學院院長。1950年秋，任南京大學數學系教授。1951年，任中國教育學會南京分會副主席。1956年，被國家高教部批准為大學一級教授，直到退休。20世紀50年代曾任江蘇省政協委員。他是《數學學報》、《數學進展》的早期編委。他熱愛祖國、熱愛科學事業；治學嚴謹，在南京大學數學系任教期間，最早提出建立計算數學專業。幾十年從事泛函分析研究，成果豐碩，是我國泛函分析的鼻祖、舉世公認的逼真解與廣義逆的奠基人。在Hibert空間運算元理論，特別是三步分解與廣義雙直交系等方面，有開創性貢獻。

曾遠榮，字桂冬，四川南溪人。1903年10月生，漢族，無黨派人士。生后8個多月父親曾紹芬便去世了。由母親吳氏撫養曾遠榮成長，至九歲時母親去世。曾遠榮系家中獨子，深得家族厚望，生活上得到極大關注，從小就有好學發憤、想做一番事業的思想，這為他後來成為我國泛函分析第一代的著名學者埋下了無形的種子。他一生追求學問，孜孜不倦攻讀，為此直至33歲時才結婚。妻子唐浩然主管家務，搞好後勤，為曾遠榮創造良好條件。唐浩然雖然文化水平不高，但熱愛科學事業並熱心群眾工作，幾十年來支持曾遠榮工作，還擔任過南京大學家屬工會副主席及區人民代表大會代表。他們生有一女一子，女名曾心平、子名曾心愉，均在國內工作。

曾遠榮小時在家鄉讀私塾，借住外婆家，1916年春季起到城內縣立高小讀書並住校，至1918年夏季畢業。同年秋季起陸續在江安省立中學、成都省立中學學習。1919年7月1日清華學校（清華大學前身）留美預備部來成都招生，曾遠榮應試被錄取，一直讀到1927年7月。由於學習成績優異，於1927年8月由上海去美國留學。先後在美國芝加哥大學，普林斯頓大學及耶魯大學學習並研究數學，師從著名數學家E.H.穆爾（Moore），J.馮·諾伊曼（Von Neumann）與M.H.斯通（Stone）等人，深得他們的賞識並在治學方法上受到很大的影響。1930年在芝加哥大學取得碩士學位，1933年取得博士學位。1933年5月回國，同年8月受聘為中央大學教授，任教一年。1934年8月至1942年7月一直任教於清華大學（1938年與北京大學、南開大學在昆明組成西南聯合大學）。1942年秋至1945年7月被成都燕京大學聘為客座教授。1945年秋受聘於四川大學任教授及數學系主任直到1950年7月。成都市於1949年年底解放，他被委派為校管會常委兼理學院院長。1950年2月中央大學改名為國立南京大學，受數學系系主任孫光遠教授寫信聘請到南京大學任教直至退休。其間於1951年秋季曾去蕪湖市安徽大學兼課，1953年秋參加校自然科學技術委員會，任委員。

曾遠榮曾是國內《數學學報》、《數學進展》的早期編委之一（1951年），中國數學會南京分會理事會副主席（1951年左右）。1956年去北京參加編製中國科學院十年科學發展遠景規劃，同年冬和田方增、徐利治教授去蘇聯莫斯科參加國際泛函分析會議，曾遠榮應邀在大會作了題為《廣義逆運算元的固有函數展開》的報告，極受歡迎。

中華人民共和國成立后不久對舊專業進行改造和充實，當時曾遠榮任南京大學函數論教研室主任，1955年起由於國民經濟發展需要，他堅持要發展計算數學，並得到領導的支持。於是他集中人才，收集資料，有計劃有步驟地帶領一批中青年開展學術討論班，對分析中數值方法、微分方程數值解、線代數計算、函數逼近論及計算數學的理論與應用，大力開展學習研究。南京大學作為一個基點，是國內最早開展計算數學研究的單位之一，由此逐步發展到開課、招生，於1958年正式建立計算數學專業。形勢發展證明成立該專業的迫切性與重要性。當時，南京大學數學系計算數學已初具規模，這與曾遠榮的推動是分不開的。不久他又建議數學系派徐家福先生去蘇聯學習電子計算機。此後不久，南京大學於1958年又成立了計算機專業。與此同時在教研室內還指導他人搞逼近論，他認為這對計算數學的理論基礎、對泛函分析的應用都有很大幫助。在今日看來，南京大學的計算數學、計算機科學、泛函分析與函數逼近論等方面已得到蓬勃發展，這完全實現了他早年的意圖。

自1950年到南京大學后，曾遠榮教過多種課程，如分析中的線性變換、近世代數、實變函數、泛函分析等等。在教學中他能結合中國古代數學成就，啟發學生的愛國思想，常告誡學生不要輕視自己。例如，他常常講我國古代在圓周率、大衍求一術、商高定理方面的成就，並主張用中國名稱命名；在講到高次方程的數值解時，特別介紹林士鍔法。對中國數學史他有極大的興趣。

他向學生推薦蘇聯著作也很積極。在中譯本未出版時他即選用蘇聯教材作為授課內容。學生們印象很深的是他推薦蘇聯的兩本教材：И.П.納唐松（Haтaнсон）的《實變函數論》與Л.A.柳斯捷爾尼克（Люстеpник）、C.Л.索伯列夫（Cоболeв）合著的《泛函分析概要》。他一方面講解其中定理，一方面說出其中奧妙，但他在黑板上寫的甚為簡潔，一旦定理證完，就拍拍手上的粉筆灰連說：“好極了，好極了！”不少學生只顧抄筆記，來不及思考，哪裡知道妙在何處呢？像勒貝格（Lebesgue）測度的構造，維塔利（Vitali）覆蓋引理及它的用意，證明中選取區間的方法等等，其精微處他都點到了，而且經常在課上給予讚歎性的評論。

他的嚴密態度還不止在教學方法上，還要求學生學數學時一點不能含糊，對數學上一些含糊的說法要特別注意。例如他說幾乎處處連續一詞不好，應說不連續點集為零集；要學生注意線性泛函的擴張定理的證明，因為有的書證錯了。對於連人名都拼錯的地方，如把Lebesgue誤寫為Lebesque、把Hausdorff誤寫成Housodoff等，他均予強調指出，給人留下深刻的印象。

50年代曾遠榮在數學系裡經常開新課，目的是讓學生獲得新知識，跟上時代步伐。由於那時中文教材極為缺乏，他便自選自編，一邊編寫一邊講授，深怕內容不成熟，故聲明不許其他人來聽課。一次，一位進修教師不問底細，坐下來便聽，突然被曾遠榮教授發現了，便問他是哪個單位的，使他感到十分緊張。在50 年代中期，因學習蘇聯而推行口試考試，限定每人不得超過30分鐘。在一次考實變函數論時，每當一位學生回答不合要求時，他便要他再去考慮，但學生想了些時間還是想不出，他還要學生再去考慮。即使考卷上問題答好了，他也要提出補充問題，似乎定要學生弄清一切有關的問題為止。這樣，旁邊備考教室里的人越來越多，而離開考場的人寥寥無幾。有不少人從早考到晚，連飯也吃不上。在他看來，這是對學數學的一種磨鍊，要想成為數學家，這種磨鍊功夫是不可少的。

曾遠榮教授是我國泛函分析界的元老，也是我國第一位從事泛函分析研究的學者。早在本世紀30年代，曾遠榮教授就有很多重要貢獻。從1932年起，他引入了維數不加限制的，實、複數域或四元數體上的線性空間，在其上定義了內積——即埃爾米特（Hermite）對稱雙線性泛函數（ F， g）。對這類空間他進行了一系列的研究，包括有界線性泛函數的表現，無界自伴運算元的固有值及其譜表現等問題（他獲得一些結果的時間比某些外國著名學者，如F.里斯（Riesz），F.雷利希（Rellich），樂維希（Lowig），O.泰希米勒（Teichmüller）為早）。在數學文獻上，運算元譜論被譽為一個“數學傑作”，這裡主要指內積空間線性運算元譜論。曾遠榮1933年的博士論文（1936年出版），在當時譜論發展上是一個重要突破，在不可分的四元數內積空間中，研究無界自伴運算元的特徵值問題，甚至作出了這種運算元的唯一的三部分解：（a）絕對連續運算元，（b）奇異連續運算元，（c）點譜運算元。並且，作出了相應的固有展開。尤其對兩種連續譜運算元都運用黑林格（Hellinger）積分為射影運算元。而在此之前，即使在可分的希爾伯特（Hilbert）空間中有界埃爾米特變換的研究中，也沒有出現三部分解。1942年他引進了巴拿赫（Banach）空間及內積空間中的廣義雙直交系，擴展了國外工作者所提的問題，得到更好的結果。希爾伯特空間及其中線性運算元的理論是泛函分析中歷史最悠久的分支。曾遠榮一直從事著這方面的研究，他引進了逼真解與廣義逆的概念。他運用近代運算元理論來研究廣泛的線性方程

x′ A12=g2，x∈D1（A）. （*）

其中 A12是由內積空間m1中稠集D1（A）到內積空間m2的閉運算元，g2是m2中已知元。如果方程無解，它就叫作矛盾方程。他引進了矛盾方程的“矛盾度”ρ（0≤ρ≤1），並確定了ρ的具體表達式。他引進了基本概念“極端逼真解”。元x′Δ叫做方程（*）的逼真解，是指

而在逼真解中具有最小模的 x′*，叫做（*）的極端逼真解。當方程（*）有解時，逼真解就是（真）解。他證明了極端逼真解的唯一性，並得出逼真解存在的充分必要條件，以及極端逼真解的范數的估值。若 g2屬於D2（A*），那麼原方程的逼真解與正常方程

x′ A12A*21=g2A*21

的真解重合，而

x′*= g2A*21（Q11）-1，

這裡 Q11=A12A*21。

設 x′ m是 x′ A12=g2的極端逼真解，而對於D2（A*）（意義與D1（Q）類似）中任何u2，數列（u2，）收斂於（u2，g2），那麼：①為了x′m弱收斂，必須且只須‖x′m‖是有界數列；②為了x′m強收斂，必須且只須

在每個收斂場合， x′ m的極限就正是 x′ A12=g2的極端逼真解。

他用這裡的方法與譜論結合來解決二次泛函數

F（ x）= Q（ x）+ λ‖ x‖2+L（x）+C

的簡化問題（ Q（ x）是無界封閉二次齊性泛函， L（ x）為有界線性泛函），得出充分必要條件及解的公式，如果 m1=m2，而運算元A是自伴的（或正規的），那麼極端逼真解還具有希爾伯特—施密特（Schmidt）-卡萊曼（Carleman）型的固有展開。

直到40年代，在內積空間中逆運算元問題上的主要工作是有界無窮矩陣的特普利茨（Toeplitz）分類，G.朱利亞（Julia）的改進（只提出7類）和穆爾的廣義逆矩陣。曾遠榮沿著根本不同的思路完成了關於逆運算元的一個系統研究（分為16類）。

設 m1，m2是內積空間，A12是稠定的、由D1≡D1（A）到m2的（無界）線性運算元，R21是由到m1的（無界）稠定線性運算元。令P1，P2各表示D2R21，D1A12上的直交投影運算元，R21叫做A12的廣義逆運算元，這是指

A12R21=P1，R21A12=P2.他提出了廣義逆運算元存在的充分必要條件，證明這時A12具有唯一的極大廣義逆運算元，並且確定了的定義域。特別正好就是方程x′A12=g2的極端逼真解，任一閉運算元A12都具有唯一的閉廣義逆運算元R21，並得出R21的表達式。為了A12具有有界的廣義逆運算元必須且只須對於m2中任意元y2，方程x′A12=y2都有逼真解。他從一種幾何觀點把封閉運算元（有界或否）分為4大類，每類再分4小類，並對其中3大類及其各小類得出它們的特徵。

曾遠榮提出並應用逼真解和廣義逆運算元解決L.O.黑塞（Hesse）標準型問題：任何泛函方程 x′ A12=g2的黑塞標準型是，這裡是B2的廣義逆運算元，而W12與B2是A的唯一極坐標運算元：A12=W12B2。事實上，對於m1中任一點h′，范數恰是方程x′A12=g2的逼真解全體所成的“超平面”與h′之間的距離。

現在舉世公認，曾遠榮教授是廣義逆的奠基人，人們稱“曾廣義逆”，在國際上具有廣泛的影響。廣義逆還滲透到計算數學等分支中，成為計算數學的重要內容。

曾遠榮還繼續了他關於廣義雙直交系的工作，他把H.К.巴里（БapИ）、A.T.塔爾德金（Талдыкин）的1951年的主要結果推廣到一般內積空間中的不可數的廣義雙直交系，並且減少了原來結果的主要條件，增補了具體結果：設P是具任意勢的無窮集，則

E*≡（ E*（ P′， P″）| P′， P″ ∈P）

是（半定）正性埃爾米特型矩陣。為了（對於 E*的）廣義雙直交系（ gp）的格拉姆（Gram）矩陣 Eg具有下模 M*（ Eg）>0，必須且只須 Eh具有 Eg模。這時，在 g系的線性閉包中存在唯一的線性封閉運算元 B，使 hp= gpB，這裡（ hp）是 g′系（對於 E*）的伴隨系， B是有界正定埃爾米特型運算元。作者也給出 B的顯明公式，設兩個元素（ gp）、（ hp）滿足（ gp′， gp″）= E*（ P′， P″）， P′， P″ ∈P，而其中某一系的閉包含在另一系的閉包中，若 g系的與 h系的格拉姆矩陣具有相互的模，那麼兩個閉包相等，而（ gp）與（ hp）都是閉包的廣義里斯基底（對於 E*）。

在譜論的基礎上運用黑林格型積分的固有展開，是有重要意義的，曾遠榮在這方面作了重要探討，他是從複數域上內積空間中正規運算元的三部固有展開

出發進行探討的，其中F（ω）是連續函數並屬於

fα是 A的固有元， gβ（ w）是特異固有微分元， hγ（ w）是絕對連續的固有微分元，各指標集[ α]，[ β]，[ γ]都不必是可數的。

1979年11月在濟南召開的“第二次全國泛函分析學術交流會”上，曾遠榮發表了題為《泛函分析的作用和趨勢》的報告。首次提出了“泛函數學”作為一門新的數學分支。這裡重要的是：它並非幾種項目的“混合”，而是一個由各門學科融合而成的有機整體。例如，報告中特彆強調無窮維空間（尤其是不可分空間）中的代數拓樸、代數幾何、微分幾何及微分拓撲。

從30年代初開始，曾遠榮教授在泛函分析的教學與研究上辛勤耕耘了60個春秋，他對工作一絲不苟，兢兢業業，培養和造就了一大批數學人才。

早期在清華大學，他招收了徐賢修作為研究生。在西南聯合大學工作時，國際上著名物理學家楊振寧博士曾聽過他的授課。已故著名數學家，前中國科學院系統科學研究所所長，學部委員關肇直教授出自他的門下。解放前，作為他的突出的學生，還有著名數學家田方增教授、江澤堅教授、徐利治教授。解放后他積極培養新生力量，特別是多次培養研究生並指導南京大學數學系函數論教研室其他教師積極從事研究工作，在治學思想方法與對數學本質的認識方面，他的學生們都深受教益。在他的指導與帶領下，他的絕大部分學生均已成為副教授、教授，並均已成為南京大學以及其他大學（如浙江大學）教學及科研方面的骨幹，有數位還被評為博士生導師。

曾遠榮於1994年2月逝世。在逝世前不久，雖然已是89歲高齡，他仍然經常出入南京大學數學系圖書室，查找、翻閱資料，積極從事研究工作，掌握新的學術動態。他經常向中青年教師提出關於研究方向的建議，向領導提出對數學教育改革的看法。自云：雖然退休，仍要努力，貢獻自己的晚熱。他不贊成“餘熱”的提法，說晚熱有時是很強烈的，這種一輩子獻身科學事業的精神，令人欽佩不已。

1903年10月3日 生於四川省南溪縣。

1919年7月 錄取於清華學校留美預備部。

1927-1933年 留學美國在芝加哥大學取得碩士學位，博士學位。

1933-1934年 任中央大學教授。

1934-1942年 任清華大學教授。

1942-1945年 任成都燕京大學客座教授。

1945-1950年7月 任四川大學數學系主任。

1950年7月 任南京大學數學系教授。

1994年2月2日 逝世於南京。