雙線性系統

雙線性系統狀態方程的一般形式是式中分別是狀態向量和控制向量，上標T表示轉置；A，Pi和B均為常係數矩陣;dx/dt表示x對時間t的微商。這類狀態方程的特點是，它相對於狀態或控制在形式上分別是線性的，雙線性的名稱即源於此。但同時相對於狀態和控制來說，系統則不是線性的。它實際上是一類具有比較簡單形式的特殊非線性系統。雙線性系統模型是對線性系統模型的推廣，它能更準確地描述一類實際過程。生物繁殖過程就是一個典型的例子，用狀態變數x表示種群中生物體的數量，控制變數u表示可人為控制的凈增殖率，則控制種群中生物體數量的繁殖過程可用形式為dx/dt=ux的一個雙線性系統來描述。雙線性系統模型已被廣泛用於工程、生物、人體、經濟和社會問題的研究。例如，化學反應中的催化作用問題；人體內的水平衡過程、體溫調節過程、呼吸中氧和二氧化碳交換過程、心血管調節過程等問題；細胞內的某些生物化學反應問題；社會和經濟領域中的人口問題，動力資源問題，鋼鐵、煤炭、石油產品生產問題等。

雙線性系統的研究始於60年代，70年代以來得到了廣泛的重視和迅速的發展，成為非線性系統研究中比較成熟的分支之一。雙線性系統理論中已有的主要結果為：

①　雙線性系統具有變結構系統的一些特徵，因而有一定的自適應性（見適應控制系統）。

②　對於控制變數受限制（即控制變數的大小必須在一定的界限內）的情況，已經找到用頻率域語言表達的穩定性條件。

③　雙線性系統具有比線性系統更好的能控性。即使控制變數受限制，系統仍可能是完全能控的。已經獲得系統完全能控的一些充分條件。

④　用李雅普諾夫穩定性理論能夠求得雙線性系統的鎮定控制解，即可找到一個反饋控制律u=u(x)使系統實現全局穩定。這種控制函數是開關型或飽和型的，開關曲面（或曲線）對狀態變數而言是二次曲面（或曲線）。

⑤　採用動態規劃或極大值原理已能解決雙線性系統的一些最優控制問題，如最速控制，最省燃料控制，以及離散雙線性系統和隨機雙線性系統的最優控制等。

雙線性系統理論已有不少實際應用，例如核電站、核動力裝置中核裂變和熱交換過程的最優控制，人口預測和控制等。