半方差
半方差
半方差函數(Semi-variogram)及其模型，半方差函數也稱為半變異函數，它是地統計學中研究土壤變異性的關鍵函數。如果隨機函數Z(x)具有二階平穩性，則半方差函數((h)可以用Z(x)的方差S2和空間協方差C(h)來定義：((h)= S2-C(h)。((h)反映了Z(x)中的空間相關部分，它等於所有以給定間距h相隔的樣點測值之差平方的數學期望：式中N(h)是以h為間距的所有觀測點的成對數目。某個特定方向半方差函數圖通常是由((h)對h作圖而得。通常半方差函數值都隨著樣點間距的增加而增大，並在一定的間距(稱為變程，range)升大到一個基本穩定的常數(稱為基台，sill)。
土壤性質的半方差函數也可能持續增大，不表現出確定的基台和變程，這時無法定義空間方差，說明存在有趨勢效應和非平穩性。另一些半方差函數則可能完全缺乏空間結構，在所用的採樣尺度下，樣品間沒有可定量的空間相關性.
從理論上講，實驗半方差函數應該通過坐標原點，但是許多土壤性質的半方差函數在位置趨於零時並不為零。這時的非零值就稱為"塊金方差（Nugget variance)"或"塊金效應".它代表了無法解釋的或隨機的變異，通常由測定誤差或土壤性質的微變異所造成。對於平穩性數據，基底方差與結構方差之和約等於基台值.
土壤在空間上是連續變異的，所以土壤性質的半方差函數應該是連續函數。但是，樣品半方差圖卻是由一批間斷點組成。可以用直線或曲線將這些點連接起來，用於擬合的曲線方程就稱為半方差函數的理論模型。在土壤研究中常用的模型有：
線性有基台模型
式中C1/a是直線的斜率。這是一維數據擬合的最簡單模型：
（（h)=C0 +C1·h/a 0在極限情況下，C1/a可以為0，這時就有純塊金效應模型：
（（h)=C0,h>0 ⑷
（（0)=0 h=0
球狀模型
（（h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a ⑸
（（0)=0 h=0
指數模型
（（h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 ⑹
（（0)=0 h=0
高斯模型
（（h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h>0 ⑻
（（0)=0 h=0
選定了半方差函數的擬合模型后，通常是以最小二乘法計算方程的參數，並應用Ross等的最大似然程序（MLP），得到效果最好的半方差方程.
模型的檢驗（cross-validation，又稱作jackknifing)
為了檢驗所選模型三個參數的合理性，必須作一定的檢驗。但是還沒有一個有效的方法檢驗參數的置信區間；同時，由於我們不知道半方差模型的確切形式，所選定的模型只是半方差函數的近似式，故無法以確切的函數形式對模型參數進行統計檢驗。交叉驗證法的檢驗方法，一種間接的結合普通克立格的方法，為檢驗所選模型的參數提供了一個途徑。這個方法的優點是在檢驗過程中對所選定的模型參數不斷進行修改，直至達到一定的精度要求.
交叉驗證法的基本思路是：依次假設每一個實測數據點未被測定，由所選定的半方差模型，根據n-1個其它測定點數據用普通克立格估算這個點的值。設測定點的實測值為，估算值為，通過分析誤差，來檢驗模型的合理性.
半方差函數的模型的選取原則是：首先根據公式計算出（（h）的散點圖，然後分別用不同類型的模型來進行擬合，得到模型的參數值及離差平方和，首先考慮離差平方和較小的模型類型，其次，考慮塊金值和獨立間距，最後用交叉驗證法來修正模型的參數.
如果區域化變數滿足二階平穩或本徵假設，對點或塊段的估計可直接採用點克立格法（Puctual Kriging ）或者塊段克立格法（Block Kriging).這兩種方法是最基本的估計方法，也稱普通克立格法（Origing Kriging，簡稱OK)。半方差圖除用於分析土壤特性空間分佈的方向性和相關距離外，還可用於對未測點的參數進行最優內插估值和成圖，該法原理如下：
設x0為未觀測的需要估值的點，x1,x2，…，xN 為其周圍的觀測點，觀測值相應為y(x1 ),y(x2），…，y(xN).未測點的估值記為 (x0），它由相鄰觀測點的已知觀測值加權取和求得：
此處，i為待定加權係數.
1. 無偏估計 設估值點的真值為y(x0).由於土壤特性空間變異性的存在，以及，y(x0）均可視為隨機變數。當為無偏估計時，
⑽
將式⑼代入⑽式，應有
⑾
2. 估值和真值y(x0）之差的方差最小。即
⑿
利用式（3-10），經推導方差為
⒀
式中，（xi,xj）表示以xi和xj兩點間的距離作為間距h時參數的半方差值，（xi,x0）則是以xi和x0兩點之間的距離作為間距h時參數的半方差值。觀測點和估值點的位置是已知的，相互間的距離業已知，只要有所求參數的半方差（h）圖，便可求得各個（xi,xj）和（xi,x0）值.
因此，確定式⑼中各加權係數的問題，就是在滿足式⑾的約束條件下，求目標函數以式⒀表示的方差為最小值的優化問題。求解時可採用拉格朗日法，為此構造一函數，（為待定的拉格朗日運算元。由此，可導出優化問題的解應滿足：
i=1,2,N ⒁
由式⒁和式⑾組成n+1階線性方程組，求解此線性方程組便可得到n個加權係數（i和拉格朗日運算元（.該線性方程組可用矩陣形式表示：
⒂
式中，（ ij）為（xi,xj）的簡寫.
求得各（i值和（值后，由式⑼便可得出x0點的最優估值y(x0).而且還可由式⒀求出相應該估值的方差之最小值（2min.將式⒁代入式⒀，最小方差值還可由下式方便地求出：
⒃
上述最優化問題求解還可用其他方法，在應用Kriging內插法時還有其他方面的問題，在此都不一一列舉了。