實變函數論

本書首先介紹了集合論和拓撲學的基礎知識，然後結合微積分的發展簡史與不完善之處，從分析學的角度系統地介紹了實變函數的基本理論框架。全書所列內容均由作者多年講義結合國際上最新的《實分析》教材內容整理而成，輔以數學史的註解，對初學者真正學懂這門專業課十分有益.

樊太和，博士，浙江理工大學數學科學系教授，從事拓撲學和模糊推理方面的研究工作和數學課程的教學工作31年。發表學術論文數十篇，開設過30餘門數學課程，包括實變函數論，拓撲學等。

賀平安，博士，浙江理工大學數學科學系教授，從事生命資訊理論方面研究工作和數學課程教學工作，發表學術論文數十篇。

本書採用國際上最新的體系講述勒貝格積分最基本的內容，主要介紹一維的勒貝格積分理論。對學習實變函數論所需集合論和拓撲學知識用最小的篇幅作了系統講述。尤其對建立勒貝格積分所需的集合論知識用很小的篇幅作了系統而深入的介紹。對學習實變函數論所需拓撲學知識採用現代拓撲學的觀點講述。本書盡量採用拓撲學的方式講述，使讀者能夠了解實變函數論中結果成立的拓撲背景，也便於讀者繼續深入一般測度論的學習。本書還對實變函數論中主要概念和結論的歷史背景知識作了適當介紹。

第1章集合...................................1

1.1集合.................................1

1.1.1集合的概念.............1

1.1.2集合運算................2

1.2基數的概念.......................8

1.3可數集和不可數集............13

習題1......................................20

第2章n維歐氏空間上的拓撲.......23

2.1n維歐氏空間上的拓撲概念.....................................................23

2.1.1開集，內部，拓撲.....23

2.1.2閉集，閉包，導集.....27

2.2子空間，乘積空間，緊集和連續映射..........................................31

2.2.1子空間...................31

2.2.2乘積空間...............32

2.2.3緊集......................33

2.2.4連續映射...............35

2.3開集的結構,Cantor三分集,Borel集......................................40

2.3.1開集的結構............40

2.3.2Cantor三分集.......43

2.3.3Borel集................45

習題2......................................50

第3章測度論...............................53

3.1外測度.............................54

3.2可測集.............................57

3.3可測集類.........................61

3.3.1可測集的進一步性質.....................................................61

3.3.2一個不可測集的例子.....................................................63

3.3.3集合可測性的等價定義.................................................64

3.3.4L作為B的完備化簡介..............................................66

習題3......................................69

第4章可測函數............................72

4.1可測函數的定義和基本性質.....................................................72

4.1.1廣義實數集............72

4.1.2可測函數...............75

4.1.3幾乎處處的概念.....79

4.2簡單函數.........................80

4.3可測函數的極限性質和構造.....................................................83

4.3.1幾乎處處收斂與近一致收斂...........................................84

4.3.2依測度收斂和幾乎處處收斂...........................................86

4.3.3可測函數的構造.....89 習題4......................................91

第5章Lebesgue積分..................94

5.1Lebesgue積分的引入：簡單函數的積分....................................94

5.2測度有限集合上有界可測函數的積分.......................................98

5.3Lebesgue積分和Riemann積分的關係...................................103

5.4非負可測函數的積分.......106

5.5一般可測函數的積分.......111

5.6乘積測度與Fubini定理..118

5.6.1二維乘積測度空間......................................................118

5.6.2Fubini定理..........121

5.6.3乘積集合的可測性......................................................127

習題5....................................129

第6章微分................................134

6.1積分的微分....................134

6.1.1Hardy-Littlewood極大函數........................................135

6.1.2Lebesgue微分定理.....................................................138

6.2函數的微分....................141

6.2.1有界變差函數.......141

6.2.2絕對連續函數.......151

6.2.3跳躍函數的導數...155

習題6....................................158

附錄A選擇公理的等價形式.........163

習題7......................................167

附錄B一般測度與積分理論簡介...168

B.1一般測度空間................168

B.2積分.............................170

B.3符號測度和Randon-Nikodym定理.......................................172

參考文獻........................................175

索引...............................................177