莫爾斯不等式

根據馬斯頓·莫爾斯（Marston Morse）的見解，在多面體上的典型可微函數將直接反映拓撲結構。莫爾斯理論允許人們找到CW結構並處理多面體的分解，並獲得關於它們的同源性實質信息。

在莫爾斯之前，亞瑟·凱利和詹姆斯·麥克斯韋爾（James Clerk Maxwell）在拓撲背景下開發了莫爾斯理論。莫爾斯原來將他的理論應用於測地學（路徑上能量函數的關鍵點）。這些技術在Raoul Bott的周期定理的證明中被使用。

對複雜多面體而言，莫爾斯（Morse）理論的類比是皮卡德，萊夫謝茨理論。

為了說明這個概念，考慮一個山區景觀M。如果f是函數將每個點發送到其海拔高度，則R中的點的反像是山區景觀的輪廓線。輪廓線的每個連接分量是點形成的簡單閉合曲線或具有雙點的閉合曲線。輪廓線也可以具有更高階的點（三分點等），但是它們是不穩定的，這可以通過景觀的輕微變形來去除。輪廓線上的雙點發生在鞍點處。鞍點是周圍景觀在一個方向上向上彎曲並在另一個方向向下的點。

想象一下，用水淹沒這個景觀。然後，當水達到a的高度時，被水覆蓋的區域是，或者高度小於等於a的點。考慮這個區域的拓撲如何隨著水的上升而變化，直觀地看來，除了通過臨界點的高度之外，它不會改變；也就是說，f的梯度為0的點（即雅可比矩陣作為從切線空間處的線性映射，那個地圖f下的圖像上的切線空間不具有最大等級），換句話說，這些水只能發生如下三點

（1）開始填滿盆地；

（2）覆蓋鞍座；

（3）淹沒高峰。

對於這三個關鍵點中的每一種：流域、通道和峰值（也稱為最小值，鞍形和最大值）。直觀地說，臨界點b的指數是圍繞b的獨立方向的數量，其中f減小。因此，盆地，山谷和山峰的指數分別為0,1和2。嚴格來說，關鍵點的指數是在那一點計算的不確定矩陣的負定子子矩陣的維數。在平滑地圖的情況下，海森矩陣證明它是一個對稱矩陣。

將定義為。離開拓撲的概念，當M是圓環定向並且f變化時，可以對M的拓撲如何變化進行類似的分析，其中f是投影一個垂直軸，指向它在平面上方的高度。

從圓環的底部開始，令p，q，r和s分別是索引0,1,1和2的四個關鍵點。當時，為空集。在通過p的等級之後，當時，是與已經“附加到空集合”的點。接下來，當時，是圓柱體，並且與具有1單元格的同位素等價。一旦a通過r的水平和，那麼是一個圓盤，其中一個磁碟被移除，這是一個相當於一個連接有1個單元的圓柱體的同倫。最後，當a大於s的臨界水平時，是一個環面。

因此，似乎有以下規則：除了α通過臨界點的高度之外，的拓撲不變，並且當α通過指標γ的臨界點的高度時，γ附加到 。這不解決當兩個關鍵點處於相同高度時會發生什麼的問題。這種情況可以通過輕微的擾動f來解決。在景觀（或嵌入歐幾里德空間的多維數據集）的情況下，這種擾動可能只是稍微傾斜景觀，或者旋轉坐標系。

但是，這是錯誤的。為了看到這一點，令，令 。那麼0是f的臨界點，但當α通過0時，的拓撲不會改變。實際上，索引的概念沒有意義。問題是二階導數也為0，這種情況稱為退化臨界點。請注意，這種情況是不穩定的：通過旋轉圖形下的坐標系，退化臨界點被去除或分解成兩個非退化臨界點。

對於可微分多面體M上的實值平滑函數，將f的不可微分點稱為f的關鍵點，並將其在f下的圖像稱為臨界值。如果在臨界點b，第二偏導數矩陣（Hessian矩陣）是非奇異的，則b被稱為非退化臨界點；如果海森是單數，那麼b是一個退化的關鍵點。

對函數：如果，則f在原點處具有臨界點，如果（即），則為非退化，如果則為退化（即）。

f的非退化臨界點b的指數是H的切線空間與M的最大子空間的尺寸，其中海森矩陣是負定的。這對應於直觀的概念，即索引是f減少的方向數。關鍵點的簡併性和指數與所使用的局部坐標系的選擇無關，如西爾維斯特定律所示。

令b為的非退化臨界點。然後在b的鄰域U中存在一個，使得

這裡α等於在b點的f的指數。作為莫爾斯引理的推論，人們看到非退化的關鍵點是孤立的。 （關於複雜域的擴展，請參閱複雜莫爾斯引理）。

多面體M上的平滑實值函數如果沒有退化臨界點，就是莫爾函數。莫爾斯理論的一個基本結果表明，幾乎所有的函數都是莫爾斯函數。莫爾斯函數形成拓撲中所有平滑函數M→R的開放密集子集。這有時表示為“一個典型的函數是莫爾斯”或“通用函數是莫爾斯”。

如前所述，我們對的拓撲何時變化的問題感興趣，這個問題的一半是由以下定理給出的。

定理：假設f是M上的平滑實值函數， 是緊湊的，並且a和b之間沒有臨界值。然後與不同，變形縮回到。了解當通過臨界點時， 的拓撲如何變化也是有意義的。

這些結果推廣並正式化了上一節所述的“規則”。如上所述，所述的規則是不正確的；這些定理是正確的。

使用以前的兩個結果和在任何可微分歧管上存在莫爾斯函數的事實，可以證明任何可微分歧管是指數n的每個臨界點的n個單元的CW複合。為了做到這一點，人們需要一個技術性的事實，人們可以安排在每個關鍵級別上有一個關鍵點，這通常通過使用梯度樣的矢量場來重新排列關鍵點來證明。

莫爾斯理論已經被用來分類封閉2維多面體。如果M是取向的，那麼M被其屬性g分類，並且與g句柄是不同的，所以如果，則M與2維多面體形成不同形狀；並且如果，則M與的連接和形成不同形狀。如果N是無方向性的，則它被分類為數字，並且與真實投影空間的連接和是不同的。特別地，當且僅當它們是不同形態時，兩個閉合的2維多面體是同胚的。

莫爾斯同源性是理解平滑多面體的同源性的一個特別簡單的方法。它使用莫爾斯函數和黎曼度量的通用選擇進行定義。基本定理是所得到的同源性是歧管的不變數（即獨立於函數和度量）並且與多面體的奇異同源性是同構的；這意味著莫爾斯和單數貝蒂數字同意並給出了莫爾斯不平等現象的即時證明。莫爾斯同源性的無限維度類似物被稱為Floer同源性。

莫爾斯函數的概念可以推廣到考慮具有非多項關鍵點多項式的函數。莫爾斯伯特函數是一個流形函數，其關鍵集是一個封閉的子集，其海森矩陣在正態方向上不退化。 （等效地，在關鍵點處的海森矩陣的核心等於關鍵子流形的切線空間）。莫爾斯函數是關鍵多面體為零維的特殊情況（因此臨界點的海森矩陣在每個關鍵點都是非退化的 方向，即沒有內核）。

該指數最自然地被認為是一對。

其中是臨界歧管給定點處不穩定歧管的尺寸，是加上臨界歧管的尺寸。如果莫爾斯伯特函數受到臨界軌跡上的小函數的干擾，則擾動函數在非擾動函數的臨界流形上的所有關鍵點的指數將位於i和之間。

莫爾斯伯特函數非常有用，因為通用莫爾斯函數很難使用；一個人能夠可視化的功能，也可以容易地計算出來的功能通常具有對稱性。他們往往會導致正面的關鍵歧管。拉爾·博特（Raoul Bott）在他原來的博特周期定理證明中使用了莫爾斯伯特理論。

圓函數是莫爾斯伯特函數的示例，其中關鍵集是（不相交的）圓。

莫氏同源性也可以用於莫爾斯博特功能；莫爾斯伯特同源性的差異通過光譜序列計算。弗雷德里克資產階級在他的莫爾斯博特版本的辛普拉斯理論的工作過程中勾勒出一種方法，但由於實質的分析困難，這項工作從未出版過。