熱傳導方程式

熱傳導維均勻介質傳播程達：

：表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數；是空間中一點的溫度對時間的變化率；與 溫度對三個空間坐標軸的二次導數；k是熱擴散率，決定於材料的熱傳導率、密度與熱容。

熱程傅葉冷律推論（詳熱傳導）。考慮介質整空，則程唯，必須指件。介質整空，唯，必須假增速指型，假吻合驗。

熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。利用拉普拉斯運算元，熱方程可推廣為下述形式

其中的 是對空間變數的拉普拉斯運算元。

熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電勢。熱方程也可以作為某些金融現象的模型，諸如布萊克-斯科爾斯模型與Ornstein-Uhlenbeck過程。熱方程及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的薛定諤方程雖然有類似熱方程的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達了一個擾動可以在瞬間傳播至空間各處。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。

熱方程在許多現象的數學模型中出現，而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布萊克-斯科爾斯模型中的差分方程可以轉成熱方程，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程可以用法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型。

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