中點弦

拋物線C：x^2（這裡x^2表示x的平方，下同）=2py上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：py-αx=pβ-α^2。

中點弦存在的條件：2pβ>α^2（點P在拋物線開口內）。

橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：

αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。

中點弦存在的條件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（點P在橢圓內）。

雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為：

αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。

中點弦存在的條件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（點P不在雙曲線、漸近線上以及它們所圍成的區域內）。

蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現了蝴蝶生態美與“數學美”的一致性．不少中數專著或雜誌至今還頻繁討論．本文揭示了它與中點弦性質的緊密聯繫，並給出統一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式．

引理：設兩條不同的二次曲線

S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線，則過A、B、C、D四點的任意一條二次曲線S2必可唯一地表示成：

(證明略)

定理1 設三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點，其中無三點共線；又直線L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中兩弦中點重合，則第三弦中點亦重合．

證 設S、S1的方程為(1)、(2)，則S2方程可表為(3)．因直線L0(設斜率為k)關於二次曲線S、S1、S2的共軛直徑分別為：

L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0

因L、L1都通過L0被S與S1所截得的弦PQ與EF的共同中點O，顯然L2也必通過點O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中點．

注 兩直線AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲線S1的特殊情形，甚至E和F重合於O．故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形．

定理2 設AB∥CD，S和S1是過A、B、C、D四點的任意兩條二次曲線．若平行於AB的任意直線與S、S1各有兩個交點，則夾在兩曲線之間的兩線段相等．

證 設AB、CD的中點分別為M、N，又AB∥CD，故直線MN就是AB關於S和S1的共軛直徑，故若平行於AB的任意直線被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中點O，故有PE=QF，命題得證．

注 由於PQ可為AB與CD之間任意平行弦，皆有PE=QF，故夾在S和S1之間的兩曲邊區域△1和△2面積相等．[1]它酷似蝴蝶兩翼，不過並非軸對稱，而是沿AB方向共軛．如果世上真有這樣的蝴蝶，飛行亦能平衡自如．

定理1還可推廣得到更一般的結論．

定理3 若三條不同的二次曲線S、S1、S2有無三點共線的四個公共點，沿某一確定方向的任意直線L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，則三弦中點O、O1、O2之間有向線段之比為常數．

證 不妨取坐標系使確定方向為x軸．於是該方向(k=0)關於S、S1、S2的共軛直徑分別為(參見定理1)：

L：a11x+a12y+a13=0

L1：b11x+b12y+b13=0

L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0

設直線L0方程為y=y0，PQ、EF、GH的中點為O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，於是由直徑方程知：

a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0

(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0

故 a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)

即 OO2/O2O1=α (a11≠0時) (5)

其中α=－λb11/a11是與y0無關的常數(由S、S1、S2三曲線確定．當a11=0時，L∥L0可知L0與S無兩個交點，故不在本命題討論之列)．

(5)式意即：在指定順序O、O2、O1之下，兩有向線段之比不因L0平行移動而變化．

推論 在定理3條件下，對任意直線L0所截的三弦中點中，任意兩點總在第三點同側或異側．當O、O1、O2中有兩點重合時，第三點也重合．“蝴蝶定理”雖然如自然界的蝴蝶種類一樣千變萬化，然而萬變不離其宗，核心在於中點弦性質．