中點弦

中點弦

對於給定點P和給定的圓錐曲線C,若C上的某條弦AB過P點且被P點平分,則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連接圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。

公式


中點弦
中點弦

拋物線中點弦公式

拋物線C:x^2(這裡x^2表示x的平方,下同)=2py上,過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為:py-αx=pβ-α^2。
中點弦存在的條件:2pβ>α^2(點P在拋物線開口內)。

橢圓中點弦公式

橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1上,過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為:
αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中點弦存在的條件:α^2/a^2+β^2/b^2<1(點P在橢圓內)。

雙曲線中點弦公式

雙曲線C:x^2/a^2-y^2/b^2=1上,過給定點P=(α,β)的中點弦所在直線方程為:
αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中點弦存在的條件:(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(點P不在雙曲線、漸近線上以及它們所圍成的區域內)。

定理


蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理,它充分體現了蝴蝶生態美與“數學美”的一致性.不少中數專著或雜誌至今還頻繁討論.本文揭示了它與中點弦性質的緊密聯繫,並給出統一而簡明的證明,指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式.
引理:設兩條不同的二次曲線
S:F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
有A、B、C、D四個公共點,其中無三點共線,則過A、B、C、D四點的任意一條二次曲線S2必可唯一地表示成:
(證明略)
定理1 設三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點,其中無三點共線;又直線L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中兩弦中點重合,則第三弦中點亦重合.
證 設S、S1的方程為(1)、(2),則S2方程可表為(3).因直線L0(設斜率為k)關於二次曲線S、S1、S2的共軛直徑分別為:
L:(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x,y)=0
因L、L1都通過L0被S與S1所截得的弦PQ與EF的共同中點O,顯然L2也必通過點O,故O也是L0被S2所截得的弦GH的中點.
注 兩直線AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲線S1的特殊情形,甚至E和F重合於O.故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形.
定理2 設AB∥CD,S和S1是過A、B、C、D四點的任意兩條二次曲線.若平行於AB的任意直線與S、S1各有兩個交點,則夾在兩曲線之間的兩線段相等.
證 設AB、CD的中點分別為M、N,又AB∥CD,故直線MN就是AB關於S和S1的共軛直徑,故若平行於AB的任意直線被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中點O,故有PE=QF,命題得證.
注 由於PQ可為AB與CD之間任意平行弦,皆有PE=QF,故夾在S和S1之間的兩曲邊區域△1和△2面積相等.[1]它酷似蝴蝶兩翼,不過並非軸對稱,而是沿AB方向共軛.如果世上真有這樣的蝴蝶,飛行亦能平衡自如.
定理1還可推廣得到更一般的結論.
定理3 若三條不同的二次曲線S、S1、S2有無三點共線的四個公共點,沿某一確定方向的任意直線L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH,則三弦中點O、O1、O2之間有向線段之比為常數.
證 不妨取坐標系使確定方向為x軸.於是該方向(k=0)關於S、S1、S2的共軛直徑分別為(參見定理1):
L:a11x+a12y+a13=0
L1:b11x+b12y+b13=0
L2:(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0
設直線L0方程為y=y0,PQ、EF、GH的中點為O(x0,y0),O1(x1,y0),O2(x2,y0),於是由直徑方程知:
a11x0+a12y0+a13=0,b11x1+b12y0+b13=0
(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0
故 a11(x2-x0)=λb11(x2-x1) (4)
即 OO2/O2O1=α (a11≠0時) (5)
其中α=-λb11/a11是與y0無關的常數(由S、S1、S2三曲線確定.當a11=0時,L∥L0可知L0與S無兩個交點,故不在本命題討論之列).
(5)式意即:在指定順序O、O2、O1之下,兩有向線段之比不因L0平行移動而變化.
推論 在定理3條件下,對任意直線L0所截的三弦中點中,任意兩點總在第三點同側或異側.當O、O1、O2中有兩點重合時,第三點也重合.“蝴蝶定理”雖然如自然界的蝴蝶種類一樣千變萬化,然而萬變不離其宗,核心在於中點弦性質.