示性函數

設是完備的概率空間，Ω上的只取有限個值的隨機變數稱為簡單函數。如果存在實數ak,和Ω的分割，（即，且不為空集，,使得,則稱h為簡單可測函數。這裡表示集合A的示性函數。示性函數有時也叫做伯努利變數。對示性函數，，時；，w不時。

依事件出現與否應取1和0的函數。設A是—事件，則稱做“事件A的示性函數”。事件示性函數是一隨機變數，服從分佈。必然事件的示性函數恆為1，不可能事件的示性函數恆為0。

事件的關係和運算與示性函數的關係和運算一一對應。如若，則；若，則。此外，藉助示性函數，可以將事件的研究納入隨機變數的研究 。

集合的特徵函數(characteristic function of a set)亦稱集合的示性函數，與集合一一對應並反映其組成、運算和可測性等特性的簡單函數。可看做集合的函數表示法，該集合的元素由相應特徵函數取值1的點所確定。設X是全集，對任意集合，把函數稱為集合A的特徵函數或示性函數。

為了描述一個隨機過程，必須知道它的有限維分佈函數族。然而在計算較高維數的分佈函數時，往往在計算上帶來很大的困難。因此，在實際應用中，通常是利用隨機過程的幾個主要特徵來描述。我們知道，在概率論中為了描述隨機變數，通常是用均值、方差和相關係數等示性數來描述。對於隨機過程，均值、方差及相關係數只不過是時間的函數而已。因此，我們通常稱之為均值函數、方差函數及相關函數，有時把這些函數叫做隨機過程的示性函數 。

均值函數定義1設為隨機過程，如果積分存在，則稱為該隨機過程的均值函數，有時簡記為。其中和分別為該隨機過程的一維分佈函數和一維密度函數。方差與標準偏差函數

定義2 設為隨機過程，如果積分存在，稱為該隨機過程的方差函數，有時簡記為。特別地，稱為隨機過程的標準偏差函數。

相關函數

定義3設為隨機過程，如果積分存在，則稱為該隨機過程的原點自相關函數。特別地，稱為二階原點矩函數。完全類似，稱為隨機過程和的原點互相關函數。

稱積分

為隨機過稱的中心自相關函數，完全類似，稱為隨機過程和的中心互相關函數。