數值計算方法

《數值計算方法》為“科學計算及其軟體教學叢書”之一，為普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。主要內容包括函數的數值逼近(代數插值與函數的最佳逼近)、數值積分與數值微分、數值代數(線性代數方程組的解法與矩陣特徵值問題的計算)、非線性(代數與超越)方程的數值解法、最優化方法以及常微分方程(初、邊值問題)數值解法。除以上基本內容之外，《數值計算方法》還介紹了廣泛應用於實際問題的隨機統計方法之一——蒙特卡羅(Monte carlo)方法。以及當今求解大規模科學工程計算問題最有效的演演算法之一的多層網格法，以便讀者參考。通過對它們的討論，使讀者掌握設計數值演演算法的基本方法，為在計算機上解決科學計算問題打好基礎。

《數值計算方法》可以作為信息與計算科學、數學與應用數學專業本科生以及計算機專業、通信工程等工科類本科生及研究生的教材，也可供從事數值計算研究的相關工作人員參考使用。

第1章 引論

1.1 數值計算方法和它的主要內容

1.2 計算機中數的浮點表示

1.3 誤差的基本概念

1.4 演演算法的數值穩定性

習題1

第2章 函數基本逼近（一）——插值逼近

2.1 引言

2.2 Lagrange插值

2.3 Hermite插值

2.4 誤差分析

2.5 分段低次多項式插值

*2.6 B樣條函數與樣條插值

習題2

第3章 函數基本逼近（二）——最佳逼近

3.1 最佳逼近問題的提出

3.2 線性賦范空間的最佳逼近及存在性定理

3.3 最佳一致逼近多項式

3.4 最小偏差於零的多項式——Chebyshev多項式

3.5 內積空間的最佳逼近

3.6 最佳平方逼近與正交多項式

3.7 數據擬合的最小二乘法

3.8 周期函數的最佳逼近與快速Fourier變換

習題3

第4章 數值積分與數值微分

4.1 引言

4.2 Newton-Cotes求積公式

4.3 復化求積公式

4.4 基於復化梯形公式的高精度求積演演算法

4.5 Gauss型求積公式

4.6 奇異積分計算

4.7 數值微分

習題4

第5章線性代數方程組求解

5.1 預備知識

5.2 Gauss消去法、矩陣分解

5.3 擾動分析、Gauss消去法的舍入誤差

5.4 迭代方法

5.5 共軛梯度法

5.6 預條件共軛梯度法

習題5

第6章 矩陣特徵值問題的解法

6.1 特徵值問題及相關結果

6.2 乘冪法與反乘冪法

6.3 約化矩陣的Householder方法

6.4 0R方法

6.5 實對稱矩陣特徵值問題的解法

習題6

第7章 非線性方程的數值解法

7.1 二分法

7.2 簡單迭代法

7.3 Newton類迭代方法

7.4 非線性方程組

習題7

第8章常微分方程數值解法

8.1 引論

8.2 Euler方法

8.3 線性多步法

8.4 線性多步法的進一步討論

8.5 Runge-Kutta方法

8.6 剛性問題簡介

8.7 邊值問題的數值方法

習題8

第9章MonteCarlo方法簡介

9.1 基本原理

9.2 隨機數和隨機抽樣

9.3 MonteCarlo方法應用舉例

第10章最優化方法

10.1 線性規劃問題及單純形方法

10.2 無約束非線性優化問題及最速下降法

10.3 幾個線性規劃問題的實例

習題10

第11章 多層網格法

11.1 兩點邊值問題及其有限差分離散

11.2 Richardson迭代法

11.3 兩層網格法

11.4 多層網格法

11.5 完全多層網格法

11.6 程序設計與工作量估計

參考文獻