數值計算方法

本書旨在講述現代科學計算中常用的數值計算方法及其理論，包括插值法、函數的最佳逼近、數值積分和數值微分、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程和方程組的數值解法、矩陣特徵值問題的數值解法和常微分方程的數值解法。每章都配有較豐富的習題和數值試驗題，書末附有部分習題答案.

本書注重內容的實用性、基本思想的闡述、數值計算方法的應用。取材精鍊、敘述清晰、系統性強、數值計算的例子較多是本書的特色.

本書可作為高等院校理工科專業數值計算方法課程的教材，也可供從事科學與工程計算的科技人員學習參考.《數值計算方法學習指導》可作為高等院校計算機應用專業等非數學專業工科本科生及工科研究生學習主教材時不可缺少的配套學習參考書，也可供從事科學與工程計算的科技工作者參考。

第1章 緒論

1.1 數值計算方法的研究對象和特點

1.2 數值計算的誤差

1.2.1 誤差的來源

1.2.2 誤差與有效數字

1.2.3 函數求值的誤差估計

1.2.4 計算機中數的表示

1.3 數值穩定性和要注意的若干原則

1.3.1 數值方法的穩定性

1.3.2 避免有效數字的損失

1.3.3 減少運算次數

1.4 向量和矩陣的范數

1.4.1 向量的范數

1.4.2 矩陣的范數

評註

習題1

數值試驗題1

第2章 插值法

2.1 Lagrange插值多項式

2.1.1 多項式插值問題

2.1.2 Lagrange插值多項式

2.1.3 插值余項

2.2 逐次線性插值法

2.2.1 逐次線性插值思想

2.2.2 Aitken演演算法

2.3 Newton插值多項式

2.3.1 均差及其性質

2.3.2 Newton插值公式

2.3.3 差分和等距節點插值公式

2.4 Hermite插值多項式

2.5 分段低次插值

2.5.1 多項式插值的問題

2.5.2 分段線性插值

2.5.3 分段3次Hermite插值

2.6 3次樣條插值

2.6.1 3次樣條插值函數的概念

2.6.2 三彎矩演演算法

2.6.3 三轉角演演算法

2.6.4 3次樣條插值函數的誤差估計

評註

習題2

數值試驗題2

第3章 函數的最佳逼近

3.1 正交多項式

3.1.1 離散點集上的正交多項式

3.1.2 連續區間上的正交多項式

3.2 連續函數的最佳逼近

3.2.1 連續函數的最佳平方逼近

3.2.2 連續函數的最佳一致逼近

3.3 離散數據的曲線擬合

3.3.1 最小二乘擬合

3.3.2 多項式擬合

3.3.3 正交多項式擬合

評註

習題3

數值試驗題3

第4章 數值積分和數值微分

4.1 Newton.Cotes求積公式

4.1.1 插值型求積法

4.1.2 Newton.Cotes求積公式

4.1.3 Newton.Cotes公式的誤差分析

4.2 復化求積公式

4.2.1 復化梯形求積公式

4.2.2 復化Simpson求積公式

4.2.3 變步長求積法

4.3 外推原理與Romberg求積法

4.3.1 外推原理

4.3.2 Romberg求積法

4.4 Gauss求積公式

4.4.1 Gauss求積公式的基本理論

4.4.2 常用Gauss求積公式

4.4.3 Gauss求積公式的余項與穩定性

4.5 數值微分

4.5.1 插值型求導公式

4.5.2 3次樣條求導

4.5.3 數值微分的外推演演算法

評註

習題4

數值試驗題4

第5章 線性方程組的直接解法

5.1 Gauss消去法

5.1.1 Gauss消去法的計算過程

5.1.2 矩陣的三角分解

5.1.3 主元素消去法

5.1.4 Gauss.Jordan消去法

5.2 直接三角分解方法

5.2.1 一般矩陣的直接三角分解法

5.2.2 三對角方程組的追趕法

5.2.3 平方根法

5.3 方程組的性態與誤差估計

5.3.1 矩陣的條件數

5.3.2 方程組解的誤差估計

評註

習題5

數值試驗題5

第6章 線性方程組的迭代解法

6.1 基本迭代方法

6.1.1 迭代公式的構造

6.1.2 Jacobi迭代法和Gauss.Seidel迭代法

6.2 迭代法的收斂性

6.2.1 一般迭代法的收斂性

6.2.2 Jacobi迭代法和Gauss.Seidel迭代法的收斂性

6.3 超鬆弛迭代法

6.4 分塊迭代法

評註

習題6

數值試驗題6

第7章 非線性方程和方程組的數值解法

7.1 方程求根的二分法

7.2 一元方程的不動點迭代法

7.2.1 不動點迭代法及其收斂性

7.2.2 局部收斂性和加速收斂法

7.3 一元方程的常用迭代法

7.3.1 Newton迭代法

7.3.2 割線法與拋物線法

7.4 非線性方程組的數值解法

7.4.1 非線性方程組的不動點迭代法

7.4.2 非線性方程組的Newton法

7.4.3 非線性方程組的擬Newton法

評註

習題7

數值試驗題7

第8章 矩陣特徵值問題的數值解法

8.1 特徵值問題的性質與估計

8.2 冪法和反冪法

8.2.1 冪法和加速方法

8.2.2 反冪法和原點位移

8.3 Jacobi方法

8.4 QR演演算法

8.4.1 化矩陣為Hessenberg形

8.4.2 QR演演算法及其收斂性

8.4.3 帶原點位移的QR演演算法

評註

習題8

數值試驗題8

第9章 常微分方法的數值解法

9.1 Euler方法

9.1.1 Euler方法及其有關的方法

9.1.2 局部誤差和方法的階

9.2 Runge.Kutta方法

9.2.1 Runge.Kutta方法的基本思想

9.2.2 幾類顯式Runge.Kutta方法

9.3 單步法的收斂性和穩定性

9.3.1 單步法的收斂性

9.3.2 單步法的穩定性

9.4 線性多步法

9.4.1 基於數值積分的方法

9.4.2 基於Taylor展開的方法

9.4.3 預估—校正演演算法

9.5 一階方程組的數值解法

9.5.1 一階方程組和高階方程

9.5.2 剛性方程組

9.6 邊值問題的數值解法

9.6.1 打靶法

9.6.2 差分法

9.6.3 差分問題的收斂性

評註

習題9

數值試驗題9

習題答案

參考文獻