正方案

傳統的測定水平四向的方法是立竿測影。這一方法因為載入儒家經典《考工記》而更顯出它的重要。《考工記·匠人》篇說：

“匠人建國，水地，以懸置，以懸以景。為規，識日出之景與日入之景。晝參諸日中之景，夜考之極星，以正朝夕。”

引文中兩次出現“以懸”二字，後者就操作而言，並非必要，當為衍出的。從內容來看，《考工記》記載的這一方法是用來“正朝夕”，即確定東西方向的。其具體方法是：首先，“水地”，通過取水準的辦法使待測點附近的地處於水平狀態。然後，“以懸置”，樹立一木質的表，通過取懸線的方法使該表垂直於地面。這些準備工作做好之後，就可以用於觀測了。“為規”，指用圓規作圓，圓心在表處。然後，把日出和日沒時表影與圓周相交的兩點記下來，這兩點連線所表示的方向就是東西方向（如圖所示）。這樣還怕不準確，還要白天參考日中時的表影方向，夜晚參考北極星的方向，如此來得到較為正確的東西方向。

《考工記》記述的方法簡便且實用，它的內在依據是太陽的周日視運動是對稱的。這一依據基本上是成立的。因此這種方法在古代得到了充分應用。《周髀算經》就有類似的記述。《淮南子》也記述了確定方向的立表測影方法，雖然其測定過程與《考工記》稍有不同，但其內在依據則完全一致，仍可歸為一類。順便指出，古人在判定方向時，除了天文學方法，還採用指南車、司南等機械的和物理的方法，但這些方法都要以天文學方法亦即立表測影作為最終判據，故此古人對《考工記》介紹的這一方法非常重視，圍繞著它做了大量孜孜不倦的探討。郭守敬發明正方案，就是這些探討中有代表性的一個。

正方案的具體形制在《元史·天文志》中有詳細記載：

“正方案，方四尺，厚一寸。四周去邊五分為水渠。先定中心，劃為十字，外抵水渠。去心一寸，畫為圓規，自外寸規之，凡十九規。外規內三分，畫為重規，偏布周天度。中為圓，徑二寸，高亦如之。中心洞底植臬，高一尺五寸。南至則減五寸，北至則倍之。”

根據這段描述，所謂正方案，是一塊邊長四尺、厚一寸的正方形平板。在板面上離邊五分之處開有水渠，用以校正案的水平。事先確定案的中心，過中心畫一十字線，線延伸至水渠處。以中心為圓心，由內向外依次畫圓，相鄰圓之間的距離為一寸，共十九個圓。在最外圓向內三分處另畫一圓，在這兩個圓之間刻畫周天度數。最裡邊的圓直徑二寸，在這個圓上做成高亦二寸的圓柱體，中心開一個貫通上下的洞，洞里插一根竿子。竿子的高度可以調節，一般高出案面一尺五寸；冬至前後減去五寸，使之高一尺；夏至前後則增加一倍，使之高三尺。之所以如此，是為了保證至少在每天中午時竿影一定要落入案內。我們可以通過簡單的數理推算證實這一點。據《元史·歷志》所云：“地中八尺表景，冬至長一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。”地中，傳統上指陽城，郭守敬登封觀星台即位於此地。依據這裡所給出的尺高與影長的比例，可以推算出當正方案中臬高一尺時，相應的景長略大於1尺6寸，這是冬至那天中午時的情形。夏至時臬高度為3尺，用類似方法推算，其影長為5寸6分。其他日子中午影長當介於這二者之間，均落於案內。這是在登封的情形。另外，《元史·歷志》還給出了在當時北京用40尺高表測得的冬夏至影長：“今京師長表冬至之景七丈九尺八寸有奇，……夏至之景一丈一尺七寸有奇。”依此比例推算，冬至時正方案中1尺臬表景長約為2尺，恰落入案內；夏至時3尺臬表影長約為9寸，景端落在從里數起的第九規上。可見，郭守敬關於正方案中臬表高度的規定主要是從元大都（今北京）天文台的實際出發的，對於大都以南的廣大地區也適用。

正方案結構如此，那麼它是如何使用的呢？《元史·天文志》記載說：

“凡欲正四方，置案平地，注水於渠，眡平，乃植臬於中。自臬景西入外規，即識以墨影。少移輒識之，每規皆然，至東出外規而止。凡出入一規之交，皆度以線，屈其半以為中，即所識與臬相當，且其景最短，則南北正矣。復遍閱每規之識，以審定南北。南北既正，則東西從而正。然二至前後，日軌東西行，南北差少，即外規出入之景以為東西，允得其正。當二分前後，日軌東西行，南北差多，朝夕有不同者，外規出入之景或未可憑，必取近內規景為定，仍校以累日則愈真。”

根據這段記述，在利用正方案測定方向時，首先要“注水於渠”，把案調整得處於水平狀態。然後在中間洞中樹起一個表，觀察表影投向。隨著太陽升高，表影逐漸移入案內，視表影頂端落在某一圓周上時就用墨標出相應記號，從上午影子由西進入外圓，到下午影子向東跨出外圓為止。把同一圓上兩個墨點連接起來，它們的中點和圓心聯線的方向就是正南北方向。把各個圓上相應兩個墨點都這樣求出結果，讓其相互參校，就能得出正確的南北方向。南北方向確定以後，東西方向也就隨之確定了。

利用正方案測定方向，比之傳統的測影定向方法有許多優越性。

首先，在正方案外圓的刻度圈上，刻畫著周天度數，而此前及當時人們常用的較為精細的地平方位表示法，是以四維、八干、十二支來標示二十四個地平方位角的地平坐標體系。誠然，在宋代的一些渾儀上有百刻環，每刻合今度3.6°，也用到了地平方位上，但那畢竟是與渾儀連為一體的。現在在一個測定水平四向的儀器上刻畫上了周天度數，這是富有新意之舉。它與西方表示地平方位的360°分度體系已相去無幾。

其次，《考工記》中記述的方法固然簡便，但那種方法測量的是日出、入時的表影，而日出入時的表影一般都比較模糊，這樣它們和圓周的交點就不易確定。現在，利用正方案來測，就彌補了這一不足。因為正方案要求測定的是日升高以後表影端點的位置，這時光線已強，表影模糊程度已經大為下降。

更重要的是，郭守敬在這裡強調要使用多組觀測的辦法，以提高最終結果的準確度，這完全符合近代誤差理論。誤差學說強調以多次觀測結果的平均值作為最後結果，這與郭守敬的思想是一致的。誠然，《考工記》中也提到一次測量不夠，還要“晝參諸日中之景，夜考之極星，以正朝夕”，但這是用另外的測量作為參校，不是對同一因素的反覆觀測，在誤差理論上這是不一樣的。

在觀測中，郭守敬注意到冬、夏至前後太陽的赤緯變化較小，即使僅取最外圓上的一組觀測點，結果也很正確。而在春、秋分前後，太陽赤緯變化大，晨昏之間，差別顯著，外圓上的觀測點對於真子午線來說不對稱，測量結果有偏差，不可為憑。這時必須取用最內圓上的觀測點，並要連續幾天反覆測量，才能得到正確的結果。他的這一認識是比較科學的。

郭守敬發明的正方案用於測影定向，準確度很高。現存的河南登封觀星台是郭守敬領導修建的，那裡就設有正方案。觀星台長達一百多尺的測影石圭是郭守敬測定南北取向的直接見證。1975年，北京天文台曾派人去那裡用近代科學方法測定當地子午線方位，測量結果表明，石圭遺址的取向，同當地子午線方位符合得相當好。七百年前的郭守敬能取得這樣的成績，不能不令人欽佩。

地理科學發明測量