水文頻率分析

自然界的現象按發生情況可分成：必然事件，即在一定條件下必然會發生的事情，如降雨以後就要漲水是必然發生的；不可能事件，即在各條件實現之下永遠不會發生的事情，如只在重力作用下的水由低處向高處流是不可能的；隨機事件（也稱偶然事件），即在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，如每條河流每年出現一個流量的年最大值是必然的，但這個最大值可能是這個值也可能是那個值，它在數量上的出現是一種隨機事件。頻率計算中是以 1來表示必然事件出現的可能性（即百分之百出現），以0表示不可能事件出現的可能性，隨機事件出現的可能性介於0與1之間。

如降雨、流量等在量的出現方面都有隨機性的特點，水文變數如年雨量、年最大洪峰流量、枯季最小流量等都屬於隨機事件，均可用頻率分析方法來分析計算。水文頻率分析主要包括：利用現有水文資料組成樣本系列，選擇合適的頻率曲線線型和估計它的統計參數，根據所繪製的頻率曲線推求相應於各種頻率（或重現期）的水文設計值。

無限個成因相同、相互獨立的同類水文變數的集合稱為該水文變數的總體。這個總體是未知的，現有水文資料只是過去發生過的和今後可能發生的整個總體中的一個樣本。把現有水文資料的水文變數按大小次序排列組成一個系列，稱為樣本系列，其中所含水文變數的項數（系列長度）叫做樣本容量。系列愈長，樣本容量愈大。水文頻率分析就是通過樣本系列的統計特徵來估計其總體的統計特徵，如各種統計參數、某水文變數的頻率等。因此，樣本系列是水文頻率分析的基礎。用樣本系列去推估容量很大或無限的總體的情況，會產生因抽樣而引起的誤差，這就是抽樣誤差。水文統計分析中所估計出的各種數值（如頻率、分析中的各個參數、相關係數等）都有抽樣誤差。樣本的容量越大誤差越小，否則誤差越大。抽樣誤差分析方法有兩種：①解析法。用統計原理推求出抽樣誤差的公式，按公式求得抽樣誤差值。例如，均值的均方（抽樣）誤差值為，其中為所研究變數系列的離差係數，n為系列的長度或樣本容量。②統計試驗法。即生成很長的資料系列，來研究樣本容量一定時統計分析中各種數值的抽樣誤差。

樣本系列中某水文變數x大於或等於一定數值（即）的可能性大小即為頻率，一般用符號Pm{}來表示，其值在0與1之間。例如，某河段年最大洪峰流量系列中，出現流量的可能性為百分之一，則稱的頻率等於1%。設系列共有n項，其中第m項的頻率Pm常用下列公式來計算：

水文頻率分析中，稱上式為經驗頻率公式，而亦稱為系列中第m 項的經驗頻率。經驗頻率在繪製頻率曲線的適線法中應用。

指某水文變數的取值 (）在很長時期內平均多少年出現一次。重現期（T）與頻率(P）的關係對下列兩種情況有不同的表示方法：①當研究防洪治澇的暴雨、洪水時，採用設計頻率，則(年）。例如，當時，得年，稱為百年一遇的暴雨或洪水。②當考慮興利或枯水問題時，採用設計頻率，則(年）。例如，當灌溉的設計頻率時，得年，稱為5年一遇的枯水。象暴雨或洪水那樣的水文現象並無固定的周期，所謂百年一遇是指大於或等於這樣的洪水在很長時期內平均每百年出現一次，而不能理解為恰好每隔百年出現一次。對於具體的 100年來說，超過這種洪水可能不止一次，也可能一次都不出現，而只是說明長時期內平均每年出現的可能性為1%。

資料系列的數量水平和變化幅度等情況的綜合特徵值稱為統計參數。繪製頻率曲線，除了需掌握系列各項的經驗頻率之外，還須了解系列的統計參數。水文頻率分析中，常用三個統計參數，即均值（算術平均值的簡稱）塣、離差係數 （也稱變差係數）和偏差係數。均值是集中表示系列數量級大小或水平高低的指標，例如對降雨系列，均值大的表示雨量充沛，反之表示雨量稀少。離差係數表示系列中各項值對其均值的相對離散程度的指標，它是系列均方差與均值之比。如果離差係數較大，即系列的離散程度較大，亦即系列中各項的值對均值離散較大，如果較小，則系列的離散程度較小，亦即系列各項的值同均值相差較小。偏差係數是表示系列中各項的值偏於均值左右的情況的相對指標。如果大於均值的各項值佔優勢稱為正偏（）；若小於均值的各項值佔優勢稱為負偏（）；當大於均值和小於均值的各項值都不偏時稱為對稱（）。

把水文變數和頻率表達成一定的數學關係式並將它畫成圖形，即為頻率曲線。其線型常用的有：Γ分佈或皮爾孫Ⅲ型分佈曲線，極值Ⅰ型分佈或貢貝爾分佈曲線，對數正態分佈曲線，對數Γ分佈或對數皮爾孫Ⅲ型分佈曲線等。頻率曲線常畫在概率格紙上。這種格紙的縱坐標為均勻分格或對數分格，表示水文變數；橫坐標按某種概率分佈（一般取正態分佈）分格，表示頻率。將水文變數同其相應的經驗頻率關係（稱為經驗頻率點）點繪在概率格紙上，用一定的配線準則，可以配出一條頻率曲線。從20世紀60年代以後，中國一般採用皮爾孫Ⅲ型曲線。有時（如在初估時），也有用目估方法通過經驗頻率點的點群中心徒手繪製頻率曲線的（見圖）。

頻率曲線的繪製方法

每種頻率曲線均含有一定個數的統計參數，一般有三個，即均值、離差係數和偏差係數。在頻率曲線線型選定之後，就要估計這些參數。有了這些參數，就可以繪出頻率曲線。統計參數的估計方法常用下列幾種：①適線法。在概率格紙上用頻率曲線去配合樣本系列的經驗頻率點據，取用配合較佳時的統計曲線。這種方法常用的有目估適線法和優化適線法。目估適線法是通過工作者的目測，以他認為曲線與點據配合較佳時的曲線為準；這種方法具有一定的任意性，不同工作者會得到不同的結果，但它能照顧精度較高或占重要位置的點據。優化適線法要用一定形式的目標函數，使其最小而得，最小二乘法和離差絕對值之和最小法屬於此類；這種方法可以避免適線的任意性，在統計試驗法中應用較好，而在實測資料的分析中，難以照顧精度較高或占重要地位的點據。②矩法。是用頭幾階矩來估計頻率曲線統計參數的方法，矩的階數同統計參數的個數相同。③極大似然法。是使估出的統計參數代入頻率曲線的密度函數中，得到系列中各水文值對應的頻率密度之乘積為最大。中國主要採用適線法。

現有的水文觀測資料一般較短，至多百年左右。在推求千年一遇或萬年一遇水文設計值（如千年一遇或萬年一遇的洪峰流量）時，必須把頻率曲線外延，外延愈遠，估計所得的水文設計值的誤差愈大。因此，水文頻率分析時，要求儘可能地調查歷史上發生過的大洪水，參證審查后加入頻率分析。同時，必須對頻率分析成果在時間上（單站各長短時段）和空間上（情況相似的地區上）作合理性分析。例如，相同頻率時短時段的水文值不能大於長時段的水文值，相鄰站同類水文系列的統計參數不能相差太大等。