矩量法

矩量法

矩量法(Method of Moments, MoM)是一種將連續方程離散化為代數方程組的方法,對求解微分方程和積分方程均適用。

定義


由於求解過程中需要計算廣義矩量,故得名。矩量法包括如下三個基本過程:
(1)離散化過程 主要目的是將運算元方程化為代數方程,具體步驟是:
①在運算元L定義域內適當的選擇一組線性無關的基函數fn;
②將待求函數f表示為該組基函數的線性組合;
③利用運算元的線性,將運算元方程化為代數方程。
(2)取樣檢測過程 主要目的是將求解代數方程的問題轉化為求解矩陣方程的問題。基本步驟是:
①在運算元L的值域內適當的選擇一組線性無關的權函數Wm;
②將Wm與代數方程取內積進行N次抽樣檢驗;
③利用運算元的線性和內積的性質,將N次抽樣檢驗的內積方程化為矩陣方程。
(3)矩陣求逆過程。
R. F. Harrington在《計算電磁場的矩量法》一書中對其原理及過程進行了詳盡的介紹。它所做的工作是將積分方程化為差分方程,或將積分方程中積分化為有限求和,從而建立代數方程組,故它的主要工作量是用計算機求解代數方程組。
所以,在矩量法求解代數方程組過程中,矩陣規模的大小涉及到佔用內存的多少,在很大程度上影響了計算的速度。如何儘可能的減少矩陣存儲量,成為加速矩量法計算的關鍵。

頻域和時域


頻域方法起步較早,發展也相對比較成熟,有對基函數方面的發展,有對阻抗矩陣的壓縮及預處理技術的發展,有對矩陣方程求解的加速改進方法,也有對頻域積分方程加以改進的。
各種方法都各有其優點和缺點。
時域方法起步相對較晚,但在各個方面也都有所涉及,如導體的,介質的,有耗的,非均勻的,還有高階的,等等,然而,國內在時域方面做的還相對較少,對時域方法的改進也有待大家的努力!

後記


R.F.哈林登的《計算電磁場的矩量法》(國防工業出版社)這本書看了一下,其中節引入了矩量法,我看了一下,矩量法數學本質是一種求解線性方程的方法。
舉例,對於非齊次方程:,式中L是線性運算元,g為已知函數,f為未知函數。
把f在L的定義域裡面展開,即變成一系列基函數(,N的大小決定著計算結果的精度,項越多,精度就越高,就越逼近原函數),這裡的基函數是自己定義的,要求在L的定義域內即可;
接下來再在L的值域內定義一個權函數或檢驗函數集合(),其選擇或與基函數相同(伽略金法)或為狄拉克(Dirac)δ函數,具體我也沒怎麼搞明白;
之後還要定義一個內積式,對每個w取原方程的內積,這時,通過矩陣的運算即可解得此方程,得到f。對於每一個特定的問題,主要任務就是選擇和,它們的選擇決定了收斂的快慢,或者矩陣計算的難易,或者矩陣的大小等。