諾特環

諾特環是一個滿足理想上升鏈條件的環；也就是說，給予任何理想的鏈條：

存在n，使得：另外還有其他等價定義的Noetherian環。

等價的定義為：A的每個理想都是有限生成的，或者是理想是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。A是左（右）諾特環當且僅當A在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

艾美獎環以艾美·諾特（Emmy Noether）命名。由於它在簡化環的理想結構中起著重要的作用，在交換和非交換環理論中，Noetherian環的概念是至關重要的。例如，整數環和場上的多項式環都是Noetherian環，因此，諸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和希爾伯特基礎定理這樣的定理成立。此外，如果一個環是Noetherian，那麼它滿足主要理想的下降鏈條件。這個屬性暗示了從Krull維度的概念開始的Noetherian環的深度的維度理論。

對於非交換環，有必要區分三個非常相似的概念：

1.如果滿足左側理想上升的鏈條條件，則環為Noetherian。

2.如果它滿足左理想的上升鏈條件，那麼一個戒指是對的 - Noetherian。

3.如果它是左和右，Noetherian，都是Noetherian。

對於交換環，所有三個概念重合，但一般來說它們是不同的。有沒有左Noetherian環，而不是右Noetherian環，反之亦然。

還有另外一個等同的定義，我們給左Noetherian環R一個定義：

1.在R中的每個左邊的理想I有限地產生，即在I中存在元素，使得。

2.每個非空集合的左邊理想，通過包含部分排序，具有關於集合包含的最大元素。

類似的結果適用於右諾特環。

對於一個交換戒指是Noetherian，就可以有效地生成環的每個主要理想。

1.任何交替的主要理想環都是Noetherian，因為這樣一個環的每個理想都是由一個元素產生的。特別是，每個主要的理想領域和每個歐幾里得域都是Noetherian。

2.Z是一個Noetherian環，這個事實在通常的證據中被利用，每個非單位整數都可以被至少一個素數整除，儘管它通常被稱為“每個非空的整數集合具有關於可分割性的最小元素”。

3.如果R是Noetherian環，則R [X]是Hilbert基定理的Noetherian。通過感應，是一個Noetherian環。此外，R [[X]]，功率系列環是Noetherian環。

4.如果R是Noetherian環，而我是雙面的理想，那麼因子也是Noetherian。換句話說，一個Noetherian環的任何一個彈性環同態的形象是Noetherian。

5.在交換性的Noetherian戒指上的每個有限生成的交換代數是Noetherian。 （從以前的兩個屬性開始）

6.當且僅當每個有限生成的左R模塊都是Noetherian模塊時，環R就是Noetherian。

7.交換的Noetherian環的每個本地化都是Noetherian。

8.Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的結果是每個左邊的Artinian環都是Noetherian。另一個後果是，左邊的Artinia環是左的Noetherian，如果且只有左的Artinian。具有“右”和“左”的類似語句互換也是如此。

9.一個左側的Noetherian環是相干的，左側的Noetherian域是一個左側的礦石域。

10.如果且只有注射（左/右）模塊的每個直接總和是注射的，則是（左/右）Noetherian。每個注射模塊可以分解為不可分解的注射模塊的直接總和。

11.在一個交換的Noetherian環中，只有極少數的理想。

12.在可交換的Noetherian域R中，每個元素都可以被分解為不可約元素。因此，如果另外不可約束的元素是素數元素，則R是唯一的分解域。

1.任何領域，包括有理數字，實數和複數的領域，都是Noetherian。

2.任何主要的理想領域，如整數，都是Noetherian，因為每個理想都是由一個元素生成的。

3.Dedekind域（例如，整數環）是Noetherian，因為每個理想都由最多兩個元素生成。 “Noetherian”來自於Krull-Akizuki定理。發電機數量的範圍是福斯特 - 天鵝定理（或基本環理論）的推論。

4.作為希爾伯特基礎定理的結果，仿射品種的坐標環是一個Noetherian環。

5.有限維代數g的包絡代數U是左和右noetherian環，這是因為U的相關分級環是Sym(g)的商，是一個場上的多項式環；因此，是一個Noetherian環。

6.整數或一個欄位中有限多個變數的多項式環。

不是Noetherian的戒指往往（在某種意義上）非常大。以下是非Noetherian戒指的一些例子：

1.無限多個變數等中的多項式環，理想（），（），（）等的序列是上升的，不會終止。

2.代數整數的環不是Noetherian。例如，它包含無限上升的主要理想鏈：（2），（），（），（），...

3.從實數到實數的連續函數的環不是Noetherian：令In是所有連續函數f的理想，使得對於所有，。理想等的序列是不終止的上升鏈。

4.穩定同倫群的球體不是Noetherian。然而，非Noetherian戒指可以是Noetherian戒指的子環。由於任何一個整合的域都是一個子域，任何不是Noetherian的整合域都是一個例子。給一個不那麼瑣碎的例子，

5.在場k上由x和生成的合理函數環是只有兩個變數的場k（x，y）的子環。

事實上，有一些環是左的Noetherian，但沒有右Noetherian，所以一個人必須小心測量一個戒指的“大小”這樣。例如，如果L是與Z同構的的亞組，則R是從到自身滿足的同態的環。選擇一個基礎，我們可以描述相同的環R：

這個環是左的Noetherian，但不會右Noetherian；由和的元素組成的子集I⊂R是沒有有限生成的左R模塊的左理想。

如果R是左側的Noetherian環S的交換子環，S作為左R模塊有效生成，則R是Noetherian。（在S是可交換的特殊情況下，這被稱為Eakin定理）然而，如果R不可交換，則不是這樣：前一段的R環是左側Noetherian環，S作為左R模塊有限地生成，但R不是Noetherian。

唯一的分解域不一定是一個noetherian環。它確實滿足一個較弱的條件：主要理想上升的鏈條條件。

估值環不是Noetherian，除非它是主要的理想領域。它給出了代數幾何自然產生的環，但不是Noetherian的例子。

在整數的環Z中，對於某個整數n，任意的理想是（n）的形式（其中（n）表示n的整數倍數的集合）。如果n是非零，並且既不是1也不是-1，通過算術的基本定理，存在素數和正整數，與。在這種情況下，理想（n）可以寫成理想的交點；也就是說，。這被稱為理想（n）的主要分解。

一般來說，如果Q是左的，並且每當，則某個正整數n的或，則認為環的理想Q是主要的。在Z中，主要理想恰恰是形式（）的理想，其中p是素數，e是正整數。因此，（n）的主分解對應於表示（n）作為有限許多主要理想的交點。

由於算術的基本定理應用於非零整數n，既不是1也不是-1，也表示了，對於和為正，n（n）的主要分解基本上是唯一的。

由於上述所有原因，以下定理被稱為拉斯克 - 諾特定理，可以被看作是算術基本定理的某種泛化：

Lasker-Noether定理。讓R成為一個可交換的Noetherian環，讓我成為R的理想。然後我可以寫成有限的許多主要理想與不同的自由基的交集；那是：對於，所有i的為主，。此外，如果：

是對於，的I的分解，並且I的兩個分解都是非冗餘的（意味著或，...的適當子集，產生一個相等於I），和（在可能重新編號之後）的交點。

對於I的任何主要分解，即集合由Lasker-Noether定理保持不變。