換底公式

對於 且，有

法一：若有對數，設， 。

根據對數的基本公式 和 及 , 可得

則有

證畢。

法二：若有對數，則，且

於是

兩邊取以c為底的對數得， ，

即

證畢徠。

法三：若有對數，則，且，

於是

即

從而

證畢。

下面給出若干推論。由換底公式，易知

在高等數學中有一種求導方法叫對數求導法，其原理就是指數函數的換底，把底為普通常數或變數的指數函數或冪指函數統統都變形為以e為底的複合函數形式。

這些都可以很容易地由對數換底公式及推論得到。

通常在處理數學運算中，將一般底數轉換為以e為底的自然對數或者是轉換為以10為底的常用對數，方便運算；有時也通過用換底公式來證明或求解相關問題；

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如，大多數計算器有自然對數和常用對數的按鈕，但卻沒有[log2]的。要計算，你只有計算（或，兩者結果一樣）；

在工程技術中，換底公式也是經常用到的公式。

例如，在編程語言中，有些編程語言（例如C語言）沒有以a為底b為真數的對數函數，只有以常用對數（即以10為底的對數）或自然對數（即e為底的對數）。此時就要用到換底公式來換成以e或者10為底的對數，表示出以a為底b為真數的對數表達式，從而處理某些實際問題。