伯努利數

一般地,時，有;時，有公式可用來逐一計算伯努利數。伯努利數在數論中很有用。例如，對於佩爾方程（是素數），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解 滿足 ,1960年，L.J.莫德爾證明了在時,S.喬拉證明了在時，上述猜想等價於伯努利數的分子不被整除。伯努利數還可用於費馬大定理的論證中。設 ，如果伯努利數的每一個分子不被整除，這樣的素數叫正規素數，否則就叫非正規素數。

18世紀瑞士數學家雅各布第一·伯努利引入的一個數。設伯努利數為,其定義:這裡。由計算知：,

一般地,時，有;時，有公式可用來逐一計算伯努利數。伯努利數在數論中很有用。

對於佩爾方程（ 呏1(mod4)是素數），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解滿足 凲,1960年，L.J.莫德爾證明了在p呏5(mod8)時,S.喬拉證明了在 呏1(mod8)時，上述猜想等價於伯努利數的分子不被 整除。伯努利數還可用於費馬大定理的論證中。設，如果伯努利數, ,…, 的每一個的分子不被p整除，這樣的素數p叫正規素數，否則就叫非正規素數。

證明

德國數學家E.E.庫默爾證明了：當為正規素數時，費馬大定理成立。不難計算當時，除開以外，其餘的素數都是正規素數。因此，在費馬大定理的研究中，庫默爾的結果是一項突破性的工作(見不定方程)。儘管有許多判別正規素數的法則，但是，是否有無窮多個正規素數，尚未解決。而非正規素數有無窮多個，早在1915年就被人們所證明。