佩爾方程

佩爾方程是一種不定二次方程。

古希臘數學家在計算2的平方根時，嘗試使用了這類方程中的一個，婆羅摩笈多(Brahmagupta)對佩爾方程的研究進行了最早的貢獻，佩爾方程和歐幾里德演演算法一起使用，可計算一個正整數的平方根的近似值。由於歐拉最早把此類方程稱為佩爾方程，所以就有了這個名詞了。實際上，數學家費馬深入研究了這類方程，拉格朗日給出了解決方案。所以在數學界，它也被稱為“佩爾-費馬方程”。

設d是正整數，且非平方數。

下面的不定方程稱為佩爾（Pell）方程：

....(1)

(1)一定有無窮多組正整數解

這是初等數論中最經典的內容之一。

假設是①中使 最小的正整數解（稱(1)的基本解），那麼①的所有的正整數解可寫為

且不難導出滿足的線性遞推關係

佩爾方程與連分數，二次型，代數數域等等都有密切聯繫。

在一般的函數域上，我們也有類似的佩爾方程，它和向量叢的穩定性有著微妙的關係。

以上的公式就是Pell方程的一般形態

不為完全平方數時時存在無窮多個解

解存在性證明：

(1) 首先證明存在無窮多個正整數 滿足.

記 ，考察集合，顯然對於任意正整數，均存在 滿足（事實上，此集合中每個元數都在之內. 作區間、 、、 ,那麼當 從0取到時，由抽屜原理即知）

於是

即

讓從小到大取遍所有正整數，就可得到無窮多組正整數.證畢

(2) 其次對如上的 我們有，

於是這意味著 只能取到有限個整數，因此必存在 使得 有無窮多解.

(3) 對於上述的無窮多組，由抽屜原理，必存在兩組解 與，滿足，考慮和將兩式相乘可得

因為同餘關係所以為整數，因為解與不同，所以可以推知,那麼,就是Pell方程的一個解。命題得證。

定義

設是正整數，且非平方數。

下面的不定方程稱為第II型佩爾（Pell）方程：

如果②有正整數解，設是②的正整數解中使最小的解（稱(a,b)為②的基本解），則②的全部正整數解可以表示為：

（n為任意正整數）

而且記，則為①的基本解。

但判定方程②是否有正整數解是一件十分困難的事情。見下面的方法。

採用D的算術平方根的循環簡單連分數，令的算術平方根,,作數列則bn就是D的算術平方根的連分數的那些分母做成的數列，請參考連分數詞條，事實上，當D是非平方正整數時，D的平方根可以唯一的用循環簡單連分數表示為，此時，若是m是奇數，則(化簡為分子分母都是整數的普通分數后，且此時是最小解),而用前任意節循環節除去最後一個數2c0后得到的漸近分數都可以作為pell方程的解；若m是一個偶數，則pell方程的最小解需要用到前兩節循環節除去最後的2c0,此時前1，3，5，...節循環節除去最後的2c0后得到的解將會是的解，前2，4，6，...節循環節除去最後的2c0得到的都是pell方程的解。順便提一下，當m是奇數的時候，無正整數解。

,印度的婆什迦羅在他的文集中提到：能在一年內找出它的正整數解的人可以叫做數學家。而其實它的解並不大，婆什迦羅處理的都是特殊的pell方程，並未對一般情形做出證明，但是在中世紀，這已經是印度數學的最高成就，最小的由展開可以得到任意多組解（其實是所有解），其它的pell方程的通解也能這樣得到；

根號271的連分數到第一節循環節為止是除去最後的32，得到最小的解為,而

991的算術平方根的簡單連分數循環節長度達到60位，運算量很大，這導致它最小的解也是一個天文數字，，這時。