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邏輯主義
邏輯主義
邏輯主義( logicism)亦稱“邏輯斯提”。即“數學哲學中的邏輯主義”。數學基礎和數理邏輯研究巾三大派別之一。主張數學是邏輯的延伸。他們只研究概念間的純邏輯關係，從邏輯學可推導出全部數學，全部數學可以歸結為邏輯學。其代表人物是弗雷格、羅素、懷特海。弗雷格相信全部數學都能從基本的邏輯規律推演出來，認為集合論具有邏輯的性質。他發明了一套無論在當時還是現在都使人覺得難以理解的邏輯符號，並把集合論的某些內容翻譯和再造成邏輯學的定義和定理，進而定義了自然數和推演出整個算術理論。著名的羅素悖論使弗雷格把數學建立在集合論之上的想法，遭到嚴重的打擊。但是邏輯主義並未中斷。羅素繼承了弗雷格的思想，為了解決由集合論危機引起的數學基礎危機，提出了從邏輯概念推出數學概念，從邏輯公理推出數學定理，從而推導出全部數學的計劃。
羅素在1903年出版的《數學的原理》中對於數學的本性發表了自己的見解。他說：“純粹數學是所有形如‘p蘊涵q’的所有命題類，其中p和q都包含數目相同的一個或多個變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個項與它所屬類的關係，如此這般的概念，關係的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數學使用一個不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念。”
這種看法是羅素自己最早發表的關於邏輯主義的論點。這種看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達過。戴德金在1872年出版了《連續性及無理數》一文，在這篇文章中，他把有理數做為已知，進而分析連續性這個概念。為了要徹底解決這個問題，必須考慮有理數乃至自然數產生的問題。他認為應該建立在邏輯基礎上，但沒有實行。
弗雷格在1884年《算術基礎》中認為每個數是一個獨立的對象。他認為算術規則是分析判斷，因此是先驗的。根據這點，算術只是邏輯進一步發展的形式，每個算術定理是一個邏輯規律。把算術應用到自然現象上的解釋只是對所觀察到的事實的邏輯加工，計算就是推理。數字規律無須實踐檢驗即可應用於外在世界，而在外在世界、空間總體及其內容物，並沒有概念、沒有數。因此，數字規律實際上不能應用於外在世界，這些規律並不是自然規律。不過它們可以應用於對外在世界中的事物為真的判斷上，這些判斷即是自然規律。它們反映的不是自然現象之間的關係，而是關於自然現象的判斷之間的關係。
早在羅素髮現悖論之前，他在寫作《數學的原理》時就企圖把數學還原為邏輯，由於發現悖論，這個計劃遭到了困難。他發現消除悖論的方法之後，又開始具體實現他的計劃，這就是他和懷特海合著的《數學原理》。
既然羅素、懷特海的《數學原理》原來的目的是企圖把數學建立在邏輯的基礎上，因此，書一開始就提出幾個不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯規則以及數學定性。
不加定義的概念有基本命題、命題函數、斷言、或、否(非)；這裡講的命題是指陳述一件事實或描述一種關係的一個語句，如“張三是人”，“蘋果是紅的”等等，由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊涵”。
要想由邏輯推出數學，第一步是推出“數”來，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。羅素在消除悖論之後，成功地用“類”來定義1。這個過程極為繁瑣費力，一直到《數學原理》第一卷的363頁才推出“1”的定義，而第二卷費了很大力氣證明了n×m=m×n。
在 及《數學原理》中，羅素的目標在於證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過邏輯主義。由於哥德爾的不完全定理，3是錯的，但是還可以堅持1和2。
羅素認為邏輯主義的許多主要論點不是來自他本人，弗雷格就曾明確地表示過一些邏輯主義的觀點。但是，邏輯主義觀點儘管受到批判，羅素本人還一直堅持。在三十年代以後，還是有許多人發展邏輯主義。
邏輯主義從—開始就遭到批評，“因為如果數學只是一套邏輯演繹系統，那麼它怎麼可能反映廣泛的自然現象呢？它又怎樣能夠有創造力呢？它又怎樣能夠產生新觀念呢？”用維特根斯坦的話說，數學就是同語反覆(重言式)，結不出任何新知識。
羅素悖論的出現，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的理論倒不是不毛之地，什麼也不長，它滋長矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷特海用了幾年時間寫出了《數學原理》論證了自己的觀點，仍不免遭到譏諷。彭加勒挖苦他們費很大力氣去定義1，說“這是一個可欽可佩的定義，它獻給那些從來不知道1的人”，別人也說這一套完全是中世紀的教條。更有人指出這種方法的人為性、煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒有任何自然之處。儘管如此，邏輯主義總算還能自圓其說。
對邏輯主義致命打擊的是哥德爾的不完全性定理，它證明了從邏輯並不能推出算術的正確性來，顯然把數學全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史功績是不可磨滅的，他們為數學奠定了邏輯基礎。在一段時期內，《數學原理》是一部引導數學邏輯家的經典，至今它還有一定的意義。