博弈論與經濟行為

該書所研究問題的本質和所使用的技巧使得我們必須運用純粹的數學分析方法。其中沒有怎麼用到高等代數或微積分等，從這個意義上說，我們運用的只是初等數學。集合論、線性幾何和群論的一些概念在這本書中發揮了重要作用，不過，它們也都是從這些學科的基礎章節中被照搬過來的，而且，我們在一些章節中對之進行了翻來覆去的分析和解釋。

雖然《博弈論與經濟行為》旨在把博奕理論運用於經濟和社會問題研究，但它的大部分篇幅是用來闡述“博奕論”的數學理論論證。《博弈論與經濟行為》全書共分12章：經濟問題的陳述；策略對策的一般形式描述；二人零和博奕：理論；二人零和博奕：例；三人零和博奕；理論的一般陳述：n人零和博奕；四人零和博奕；某些有關參加人數n≥5時的註記；博奕的複合與分解；單純博奕；一般非零和博奕；優越與解的概念的推廣。此外，從第二版起，又增加了一個附錄：效用的公理化處理。

全書內容可分為四個部分：

一、經濟學中的數學方法和經濟行為的定量研究：這一部分包括第1章，共有4節，紐曼就一系列基本的問題，特別是就經濟學和數學的關係進行了論述。

二、博奕論的數學描述：這一部分包括第2章。主要討論了用數學形式對博奕問題進行規範化的表達。

三、二人零和博奕：這一部分包括第3、4兩章，主要結論是“馮·諾依曼最小最大定理”，該定理是1928年馮·諾依曼在創立博奕論理論基礎時提出來的。

四、具有合作對策的三人以上博奕：這一部分包括從第5章到第12章的8章內容。討論了多人博奕的問題，任何三人以上的博奕都有一個合作的問題，這一點與二人博奕有較大差別。

《博弈論與經濟行為》被認為是20世紀社會科學的經典著作之一，是博弈論（也稱為對策論）的奠基性著作，該書的出版標誌著博弈論的真正形成。

《博弈論與經濟行為》原版為英文版，於1944年由普林斯頓大學出版社出版，後於1947年和1953年兩次再版，1972年與1980年再次重印。該書曾由王建華等譯為中文，書名《競賽論與經濟行為》，1963年由科學出版社出版，但不易見。

約翰·馮·諾伊曼

約翰·馮·諾伊曼（John von Neuman，1903—1957），數學家，被稱為“計算機之父”。1926年獲得數學博士學位。1933年加入美國國籍。1940年以後參與多次軍事領域的應用研究。1943年參與曼哈頓計劃。1946年在普林斯頓高等研究院進行“完全自動通用數字電子計算機”的研製，並於1951年製造成功，這是現代通用機的原型，他開創了人工智慧研究的新領域。他的研究成果運算元代數被稱為馮·諾伊曼代數。主要論著有《論博弈策略》《量子力學邏輯》《博弈論與經濟行為》《函數運算元》《計算機與人腦》等。

奧斯卡·摩根斯特恩

奧斯卡·摩根斯特恩（Oskarl Morgensten，1902—1977），又名摩根斯坦，美國經濟學家。1902年1月24日生於西里西亞的戈爾利策；1977年7月26日卒於新澤西州普林斯頓。曾任維也納大學教授。1938—1977年任普林斯頓大學經濟系教授。主要著作有：《對策論和經濟行為》等。

1、經濟學和數學的關係

在諾依曼看來，數學在經濟學中應用得還不太成功的原因，首先在於很多經濟學問題提得不明確，常有許多不定因素。其次，在那些問題提得明確的地方，由於未能使用合適的數學工具，所以也常常出現失敗。另外，經濟學中尚未有系統的、科學博弈論的有效觀察。因此，很難期望數字能順利地進入經濟研究領域。諾依曼認為，該書的目的不在於經驗研究，而是試圖從有關人類行為的一般性論點著手，尋找既有助於數字處理，又有重要經濟學意義的研究途徑。諾依曼認為，要做到這一點就要發展新的數學方法，甚至創立新的數學分科。諾依曼指出，在社會性交換經濟中，其特徵與普通的極值問題不同，是多個相互衝突的最大值問題的一種混合。這類問題的複雜性取決於事件參加者的人數。三人博弈與二人博弈根本不同，而四人博弈又和三人博弈情況不一樣。如果參加者很多，以致單個人的作用可以忽略不計時，問題反而簡單了。有大量參加者的情況，可用經典的競爭理論來解釋，而對於經濟問題來說，2、3、4……個參加者的情況，也沒有完全相同的理論。因此，必須先從有少數參加者的情況出發，逐漸進入有大量參加者的情況，再通過“極限轉換”進入自由競爭的情形。諾依曼在論述了為什麼把效用函數作為一個數值函數是合理的之後，闡述了什麼叫“一個博弈問題的解”。在諾依曼看來，首先應說明什麼叫“社會總體的行為標準”。從這個“標準”出發，人們就能對兩個社會狀態進行比較，比較它們誰優誰劣，或者兩者“沒有差別”或者兩者“無法比較”。所謂問題的解就是某一種狀態，從總體上說人們找不到比它更優的其他狀態。博弈問題的狀態在一個社會經濟問題中可理解為是一種對資源或利益的分配。

2、博弈問題的規範化表達

一個博弈問題，可根據有多少個參加者來分類。例如，有二人參加的叫二人博弈（如下棋），有四個人參加的叫四人博弈（如打麻將）。每個參加者有一套自己的策略與代表其利益的支付函數。支付函數的值取決於各個參加者所採取的策略。如果參加者的利益總和為零，如下棋雙方的一輸一贏或和局，這種博弈稱為零和博弈，否則為非零和博弈。在有的博弈中，參與者都能了解所有情況，則稱為“具有完全信息的博弈”，反之則稱為“具有不完全信息的博弈”。有的允許參加者相互合作，這稱為“合作博弈”，相反的情形則稱為“非合作博弈。”諾伊曼分別用嚴格的定義與數學方式對它們進行了表述。

3、二人零和博弈

“馮・諾依曼最小最大定理”內容大致如下：

在二人零和博弈中，由於兩人的支付函數之和為零，故可用個函數來代表兩個人的利益，即函數既表示甲的支付，又表示乙的相應收益。對於甲來說，他採取的策略是保證使其支付得越少越好，然而由於甲不知道乙採取什麼策略，於是他採取的一種謹慎的做法就是對自己採取的所有策略都作了預期最壞的打算：考慮其每一策略都有可能是最大的，而在所有這些最大支付中取最小者，由此可得到甲的所謂“最小最大策略”。同理，可提出對乙的“最大最小策略”。當兩者分別採取這樣的策略后，由於相互都已考慮了最壞的情況，則最終結果就不會比預期的更壞。一般而言，對於一個二人零和博弈，不一定達到兩個人所預期的“最小最大”和“最大最小”的情況。但是，“馮·諾依曼最小最大定理”指出，假如允許考慮所謂“混合策略”，即在博弈中引進概率概念，按照這種觀點，博弈中的兩人所採取的策略是隨機的，如甲採取策略A的可能性為60%，採取策略B的可能性為40%等，那麼在支付函數滿足一定合理條件的情況下，甲的“最小最大混合策略”與乙的“最大最小策略一定能在某個策略組合下達成一致。

4、零和博弈的引申

諾依曼提出，從二人零和博弈轉移到三人零和博弈使單純的利害對立退出了問題的核心。在博弈參加者中，出現了挑選同盟者以建立共同利害關係的問題，而這一問題在二人零和博弈中是不存在的。並且隨著參加博弈的人數增多，博弈的複雜程度會急劇變化。諾依曼在二人零和博弈論的基礎上，建立了n人零和博弈的理論；最後，證明了一個一般的n人非零和博弈可以化為一個（n+1）人非零和博弈。這樣，就在理論上解決了一切有窮博弈的問題。