迪尼定理

在數學中，迪尼定理敘述如下：設 X 是一個緊緻的拓撲空間，

是 X 上的一個單調遞增的連續實值函數列，即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有

如果這個函數列逐點收斂到一個連續的函數

，那麼這個函數列一致收斂到

。這個定理以義大利數學家烏利塞·迪尼命名。

對於單調遞減的函數列，定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件。

注意定理中的

一定要是連續的，否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函數列 {

}。這是一個單調遞減函數，逐點收斂到函數

：當 x 屬於 [0,1) 時

等於 0 ，等於 1。但這個函數列不是一致收斂的，因為

不連續。

我們對單調遞增的函數列作證明：對於任意ε>0 ，對每個 n ，設

再設

為使得

其中

顯然每個

都連續，於是每個

都是開集（在拓撲空間中，連續函數被定義為使得開集的原像都是開集的函數，可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的，而[0, ε）是正實數集中的開集。函數列{

} 是單調遞減的，因此

是

的子集。又由於

逐點收斂到 f ，所有（

）的並集是 X 的一個開覆蓋。但是 X是一個緊集於是存在正整數 N 使得

。因此對所有

，對所有的

，都有

於是{

} 一致收斂於

。