逐點收斂
逐點收斂
在數學中，逐點收斂（或稱簡單收斂）描述的是一列函數向一個特定函數趨近的現象中的一種。簡單來說，就是對定義域里的每一點，這個函數列在這點上的取值都趨於一個極限值。這時，被趨近的這個特定函數稱作函數列的逐點極限。在各種收斂中，逐點收斂最為直觀，容易想象，但不能很好地保持函數的一些重要性質，比如說連續性等等。
設 是一列擁有同樣定義域的函數。逐點收斂當且僅當存在函數，使得對定義域中的每個，都有：
這時我們就說 逐點收斂到。
與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂。後者的定義如下：
一致收斂到 當且僅當在定義域 中
相比較下，一致收斂是一個更“強”的概念。一致收斂的函數列必然逐點收斂，反之則不盡然。一個簡單的例子是開區間 上的函數列，逐點收斂到函數，但並不一致收斂到0，因為
一致收斂能夠保持函數列的連續性，但逐點收斂不能。例如，上述函數 在閉區間 上連續，但是 逐點收斂到的函數，在 上取值為0，在1上取值為1，不是連續函數。
中函數的取值可以是實數，也可以是任何使得其定義有意義的拓撲空間。一致收斂函數的適用範圍則相對較小，只能在一個度量空間中定義，因為定義中使用到了距離的概念。
逐點收斂也可以理解為由半范數 建立的拓撲。具有這種拓撲的函數組成的空間叫做逐點收斂空間。這個拓撲與乘積拓撲是等價的。如果 的定義域和值域都是緊緻的，根據吉洪諾夫定理，這個空間也是緊緻的。