葉戈羅夫定理

設為一個可分度量空間（例如實數，度量為通常的距離）。給定某個測度空間()上的值可測函數的序列，以及一個有限測度的可測子集，使得在上幾乎處處收斂於極限函數，那麼以下結果成立：對於每一個，都存在的一個可測子集，使得，且在相對補集\上一致收斂於。

在這裡，表示的測度。該定理說明，在上幾乎處處逐點收斂，意味著除了在任意小測度的某個子集上外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

注意的假設是必要的。在勒貝格測度下，考慮定義在實直線上的實值指示函數的序列：

這個序列處處逐點收斂於零函數，但對於任何有限測度的集合，它在\上不一致收斂。度量空間的可分性是需要的，以保證對於值可測函數和，距離也是的可測實值函數。

對於實數和，定義集合為以下並集：

當增加時這些集合逐漸變小，意味著總是的子集，因為第一個並集包含了較少的集合。一個點，使得序列收斂於，不能位於每一個中（對於固定的k），因為最終必須離比離更近。因此根據在上幾乎處處逐點收斂的假設，有：

對於每一個。由於的測度是有限的，我們便可從上面推出連續性；因此對於每一個，都存在某個自然數n，使得：

對於這個集合中的，我們認為逼近的鄰域的速度太慢。定義

為中所有點的集合，使得逼近的至少一個鄰域的速度太慢。因此，在集合差\上，我們便得出一致收斂。

根據的可加性，並利用幾何級數，我們便得到：