靜態誤差係數

設系統框圖圖示，析靜態誤差系統傳遞函系，且，采圖()誤差。

容易求，輸號誤差號傳遞函

式 是閉環系統的開環傳遞函數。

如果e(t)是有終值的，根據拉普拉斯變換的終值定理有

可以看出，對於給定的輸入量 關於輸入量的靜態誤差 只取決於系統的開環傳遞函數。

當輸人信號為三種典型信號之一時，上式化為

對於單位階躍函數

對於單位斜坡函數

對於單位加速度函數

定義靜態誤差係數如下：

位置誤差係數：

速度誤差係數：

加速度誤差係數：

把式（4）、（5）、（6）分別代人式（1）、（2）、（3）中，得

對於單位階躍函數：

對於單位斜坡函數：

對於單位加速度函數：

通常有，於是式(7)化為，與另外兩個公式形式上相似。這表明：採用靜態誤差係數概念后可以認為，系統在三種典型輸入信號作用下的 靜態誤差等於或近似等於相應的誤差係數的倒數。

與系統的結構和參數的關係

下面進一步考察靜態誤差係數與系統的結構和參數的關係。

將系統的開環傳遞函數一般地寫成

的形式，式中K是系統的開環比例係數；各 和各 都可以是實數或共軛複數 分母中的因子 表明開環傳遞函數中含有 個積分單元，工程上按照v的值分別稱系統為0型，1型，2型，的系統實際上極少遇到，因為 含有多於兩個積分單元的系統很難使之穩定，因此一般情形下只使用0型，1型和2型的系統。

把式(10)代人靜態誤差係數的定義式（4）、（5）、（6）中得

從上式分別求出各型系統的靜態誤差係數，列於表1；再從式（7）、（8）、（9）分別求出靜態誤差，列於表2。從這兩個表可以看出：首先，就同一典型輸入信號而言，積分單元數目愈多的系統，靜態誤差愈小；而就同一系統而言，輸入信號變化率愈大，靜態誤差愈大。其次，不含積分單元的0型系統在階躍輸入信號下必有靜差，所以稱作 有靜差系統，對於有靜差系統，只要在保證系統穩定的前提下提高系統的開環比例係數，就可以減小靜差，至於含有積分單元的1型和2型系統，它們在階躍輸入信號作用下沒有靜差，稱作 無靜差系統，有 個積分單元就稱為 階的無靜差系統，或說系統的 無靜差度是。

顯然，用0型系統跟蹤恆速變化的信號時，它的輸出量的速度總是趕不上輸入信號的速度，以致差距愈來愈大，1型系統則能以同樣速度跟蹤恆速變化的信號，但有一定的靜差，以致輸出量總比輸入信號“落後”一個固定的量，輸入信號變化的速度愈大，落後的量也愈大，圖2表示單位反饋的1型系統對斜坡輸入信號的響應。

從表2還可以看出，0型和1型系統都不能跟蹤恆加速度信號，而2型系統能跟蹤恆加速度信號，但有靜態誤差，換句話說，它的輸出量能與輸入信號以同一加速度和同一速度變化，但總是“落後”一個固定的量。圖3表示單位反饋的2型系統對恆加速度輸入信號的響應。

綜上所述，在保證系統穩定的前提下，如果系統的前向通道中積分單元數目愈多，則愈可以提高系統的無靜差度，例如在0型系統的主通道中增加一個積分單元，就變成1型系統，對階躍輸入信號就由原來的有靜差變成無靜差。另外，增大系統的開環比例係數可以減小靜態誤差，這為選擇系統的開環比例係數提供了依據。例如，要求某0型系統的靜態誤差不超過1%，則至少應選K為99；如果要求1型系統在信號變化速度為1°/s時的靜態跟蹤誤差不超過1'，則至少應選K為60s。