單峰函數

設D表示一個實數集合(閉區間，開區間，區間的並，集合 等)，設 是定義在D上的實值函數，如果存在 ，使得對D中任何冀，當 時，有

當 時，

那麼就說 是定義在D上的單峰函數(圖1)，換句話說，如果 在左邊遞增，在 右邊遞減，那麼 就是D上的單峰函數，就是 在D上的最大值(峰值) 稱為峰值點。

類似．如果存在，使得D中任何 ，當 時，有

當 時，有那麼就說是 D上的單谷函數， 稱為谷值點(圖2)。

例1二次函數 當時，為單峰函數，當 時，為單谷函數。

例2 函數在 為定數)上為單峰函數，而在 （k均為定數）上為單谷函數。

例3 使用單因素優選法的經驗表明，單因素實驗指標函數大多為單峰(谷)函數。

例4函數 ， ， ， 在整個定義域上不是單峰函數，也不是單谷函數。

由定義可知，單峰函數在定義域上有最大值(峰值)，單谷函數有最小值(谷值)，這就確定了這函數類在處理極值問題中的地位。

由定義可知，在閉區間或有限集合上的單調函數既為單峰函數，又為單谷函數，這樣，就容易證明，對集合D，如 是D上單峰函數， ，則是D'上的單峰函數，對單谷函數也一樣，歸納起來，單峰(谷)函數有如下性質。

性質1單峰函數在其定義域的任何子集上，仍為單峰函數，對單谷函數也一樣。

性質2 若 為單峰(谷)函數，那麼 (l、k為常數)，當時，仍為單峰(谷)函數，當時，為單谷(峰)函數，且峰(谷)值點不變。

特別，，的情況告訴我們，如為單峰(谷)函數，則一 為單谷(峰)函數，因此，在論證有關性質時，只考慮單峰函數就行了。

性質3如 為閉區間D上的凸函數(凹函數)，那麼 必為D上的單谷(峰)函數。

證明：如 為D上的單調函數，則 為單谷或單峰函數，如不然，則 在D上有的部分遞減，有的部分遞增，因此有局部極小(大)點，該局部極小(大)點也是全局極小(大)點，因此， 在 左邊是減函數，而在 右邊為增函數，因此， 在D上是單谷(峰)函數，但是反過來不然，這就說明了單峰單谷函數同凸、凹函數的類屬關係。

我們知道，單峰函數的概念首先是為了解決優選法理論問題的需要而提出來的，而優選法的本質在於用實驗求指標函數(無需知道它的表達式)的極值，而採用的“試一比一去”的程序，就是在實驗區間(即指標函數 的定義域)[a，b]內先取兩點(0.618法，分數法，各有特定取法)和，( )，通過實驗比較 和 的大小，如果 ，則把 去掉，留下 ，其中已有一個試過的點 ，再按特定方法取 ，通過實驗比較 與 的大小，…；如果 ，則去掉 ，留下 其中包含了已試點， 按特定方法取 ，比較 與 的大小，…總之，每次去掉壞點(指 較小的點)以外的那部分區間。

問題在於這種試驗程序能否保證試驗點序列收斂於最優點？我們知道，一個單峰函數 ，通過上述程序每次去掉一部分區間以後，性質1保證了在剩下區間上 仍是單峰函數，程序可以繼續進行，但是， 的峰值點是不是總留在剩下的區間中呢？下面的定理肯定回答了這個問題。

定理設 為上的單峰函數， 是它的峰值點，設，是上任意兩點，那麼，

若 ，則 在 上；

若 ，則 在 上。