代數數域

數學中代數數論的基本概念

代數數域是數學中代數數論的基本概念,數域的一類,有時也被簡稱為數域,指有理數域 ℚ 的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作 ℚ 上的有限維向量空間。對代數數域的研究,或者更一般地說,對有理數域的代數擴張的研究,是代數數論的中心主題。

簡介


命為一個 n次代數數,即一個有理係數 n次不可約方程 的根。
易證所有形如的數,此處 為有理數,所構成的集合,對和、差、積、商(除數非零)是自封的,所以構成一個域,這就是有理數域添加所得的單擴張(simple extension),常以記之。可以證明對於的任何有限擴張(finite extension) ,其中 都是代數數,均可找到一個代數數 使。因此,只要考慮 的單擴張即可,稱 為一個代數數域。
所滿足的不可約方程的次數即定義為 的次數。

舉例


最小最基本的代數數域是有理數域ℚ 。因為ℚ 自身是ℚ-向量空間,維數是1。因此ℚ 是ℚ 自身的域擴張,。高斯有理數ℚ(i)(i為虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子,它是所有形同:的數構成的集合。
可以證明,ℚ(i)是域,而且是ℚ-向量空間,以為基,空間維數是2。所以ℚ(i)是ℚ的二次擴張,。
給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數 d ,二次域在ℚ中添加d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似,可以證明是ℚ-向量空間,以為基,空間維數是2,即。
考慮多項式方程 的 n 個復根,它們被稱做 n 次單位根,具體可以寫作:。
在ℚ中添加得到的擴域稱為 n 次分圓域,記作。可以證明是有限維ℚ-向量空間,維數為(φ是數論中的歐拉函數),即。
實數域 ℝ 、複數域ℂ和 p 進數域ℚ都不是的有限擴張,因此都不是代數數域。任何有限域都不是ℚ的擴域,因此也不是代數數域。全體規矩數構成的域 和全體代數數構成的域(有時也被簡稱為代數數域,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是ℚ的有限擴張,因此都不是代數數域。

代數整數


代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式的根,因此是代數整數。給定代數數域F,F中所有代數整數構成一個環,稱作F中的(代數)整數環,也稱為F-整數環,記作。例如ℚ上的代數整數環就是 ℤ ,因此在代數數域研究中ℤ也被稱作“有理整數”(有理數域中的整數),以區別於其餘的代數整數。
代數數域F中的整數環與 ℤ 有不同的代數性質。不一定是唯一分解整環。舉例來說,設,F中的整數環是。都是中的“素數”。正整數6,作為中的元素,它的素因數分解有兩種方式:
有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補,由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是:的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積,即為戴德金整環。這種“理想的唯一素分解”可部分彌補“代數整數一般不能唯一素因子分解”的不足,在歷史上使代數數論發展起來。