等價無窮小

等價無窮小的定義：設當 時，和 均為無窮小量。若，則稱 f和g 是等價無窮小量，記作。

例如：由於，故有。

等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限時，使用等價無窮小的條件：

● ● 被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

● ● 被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

無窮小等價替換定理

設函數f，g ，h ，在 內有定義，且有

(1)若，則；

(2)若，則。

證明：

(1) 。

(2)。

例如：利用等價無窮小量代換求極限

解：由於，

而，， ，

故有。

注意：等價無窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時會出錯（加減時可以整體代換，不一定能隨意 單獨代換或分別代換）。如在上例中：

若因有，，而推出 ,則得到的是 錯誤的結果。

註：可直接等價替換的類型

（以上幾個性質可以用來化簡一些未定式以方便運用洛必達法則）

需要滿足一定條件才能替換的類型

若，則

（該條性質非常重要，這是判斷在加減法中能否分別等價替換的重要依據）

變上限積分函數（積分變限函數）也可以用等價無窮小進行替換。

當 時，

註：以上各式可通過泰勒展開式推導出來。

α和β都是無窮小，且，存在（或）,則有

數學分析的基礎概念。它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的數值(極限值)。極限方法是數學分析用以研究函數的基本方法，分析的各種基本概念(連續、微分、積分和級數)都是建立在極限概念的基礎之上，然後才有分析的全部理論、計算和應用。所以極限概念的精確定義是十分必要的，它是涉及分析的理論和計算是否可靠的根本問題。歷史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先較為明確地給出了極限的一般定義。他說，“當為同一個變數所有的一系列值無限趨近於某個定值，並且最終與它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，這個定值就稱為這個變數的極限。其後，外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照這個思想給出嚴格定量的極限定義，這就是現在數學分析中使用的ε-δ定義或ε-Ν定義等。從此，各種極限問題才有了切實可行的判別準則。在分析學的其他學科中，極限的概念也有同樣的重要性，在泛函分析和點集拓撲等學科中還有一些推廣。