偶置換

當把置換寫成對換的乘積時，不要求（也不能要求）這些對換沒有公共的點，也不能保證表示的唯一性；甚至不能保證乘積中出現的對換的個數的唯一性。但是我們可以證明，當把一個置換 g 表示成對換的乘積，所需要的對換的個數的奇偶是被 g 完全確定的。一個可以表示成偶數個對換的乘積稱為偶置換（even permutation），否則稱為奇置換（odd permutation）。

兩個偶置換的乘積，兩個奇置換的乘積都是偶置換。

一個偶置換和一個奇置換乘起來是奇置換。

若，則在Ω 的全體置換中，有個偶置換，有奇置換。

全體偶置換在置換的乘法下成為一個群，稱為Ω 上的交錯群（alternating group），記作 。是的正規子群。若， 或 S來表示 n 元集合上的對稱群。同樣用 ，或 A來表示 n 元集合上的交錯群。交錯群在有限群理論中具有重要地位。當 時，A是單群。

[permutation group]

置換群是由置換組成的群。一個有限集合到自身的雙射稱為置換（permutation）。設 Ω 為有限集合，其元素按慣例稱為點。若α 為Ω 中一點，g 為Ω 一個置換，通常把α 在 g 下的像記作 。設，則 Ω 的置換可表成

的形狀，這裡把每個點的像寫在點的下方。

例如，，

就表示這樣一個置換，它把 1 映成 2，把 2 映成 3，把 3 映成 1，把 4 和 5 互換。此時我們也把 g 寫作 的形狀。

一般地， 上的任何置換都可以寫成

的形狀，這裡，，都是Ω 的點，而且Ω 的每個點在右端恰好出現一次。上面的寫法表示，g 把 映成，把 映成,...,又把 映成 。同樣，g 把映成 ，把映成,..., 又把映成，等等。此處的 都稱為輪換 (cycle)，s,t,...,u 稱為它們的長度（length）。這種表示稱為置換的輪換分解（cycle decomposition）。在此分解中出現的各輪換的長度之和為Ω 的長度 n。按照上面的方法，(123)(45) 也可寫成(231)(54)，或(312)(45)，或(45)(231)等。這就是說，在輪換的分解中，各輪換的次序可以改變，同時輪換 也可用 代替。我們還規定，在用輪換分解來表示置換時，長度為 1 的輪換可以省略。

若Ω 有 n 個點，則Ω 點置換共有 n！個。設 g，h 為兩個置換，它們作為映射可用相乘，把乘積記住 gh，點α 在 gh 下的像為 。Ω 的全體置換在上述乘法下成為一個群，它稱為Ω 上的對稱群（symmetric group)，通常記住 Sym(Ω)。Sym(Ω)的任意子群稱為Ω 上的置換群。

長度為 2 度輪換稱為對換（transposition)。任何一個長度 2 的輪換可以寫成對換可以寫成對換的乘積。實際上， ，有

。

進而每個置換都可以寫成對換的乘積。