辛空間
辛空間
辛空間(symplectic linear space)一種特殊的複線性空間。指帶非退化反對稱雙線性函數的有限維複線性空間。
數學中的辛空間，可能指：辛流形或者辛向量空間，後者是前者的一個特例。辛幾何是以面積為度量的，(歐氏幾何以長度為度量的)。
數學中，一個辛向量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V，所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。
確切地說，一個辛形式是一個雙線性形式 滿足：
斜對稱：，對所有 成立；
非退化：如果 對所有 成立，那麼 。
如果 V 是有限維的那麼維數必須為偶數，因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。
非退化斜對稱雙線性形式和非退化“對稱”雙線性形式，比如歐幾里德向量空間的內積，的表現非常不同。歐幾里德內積 g，對任何非零向量 v，均有成立；但是一個辛形式 ω 滿足 。
| 歐幾里德空間 | 辛空間 |
| 內積——｛長度｝ | 內積——｛面積｝ |
| 單位矩陣I | 單位矩陣J |
| 正交 | 正交 |
| (標準)正交基 | (標準)共軛辛正交基 |
| 對稱矩陣 | 哈密頓矩陣 |
| 實對稱矩陣的本徵值皆為實數 | 如果ß 是哈密頓矩陣的本徵值， 也一定是。 |
| 實對稱矩陣不同本徵值的本真向量必正交 | 哈密頓矩陣非辛共軛本徵值的本徵向量必辛正交 |
| 由實對稱矩陣本徵向量可組成一組標準正交基 | 由哈密頓矩陣本徵向量可組成一組標準共軛辛正交基 |
| 正交矩陣 | 辛矩陣 |
| 對稱變換 | 哈密頓變換 |
^ 不同作者有不同偏好。
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
J.柯歇爾、鄒異明，辛幾何引論，科學出版社，1999年2月。