空間向量

、共線量

空量 a, b向量( b向量不等於 ）， 的充要條件是存在唯一的實數λ，使

、共面向量定理

如果兩個向量 a, b不共線，則向量 c與向量 a, b共面的充要條件是：存在唯一的一對實數x,y,使

3、空間向量分解定理

如果三個向量 a、 b、 c不共面，那麼對空間任一向量 p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使

任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。

三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。

立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關係，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這裡比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。

以下用向量法求解的簡單常識：

1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得

2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若： （其中），則四點P、A、B、C共面．

3、利用向量證，就是分別在a，b上取向量

4、利用向量證，就是分別在a，b上取向量 ．

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 a, b，求：的問題．

6、利用向量求距離即求向量的模問題．

7、利用坐標法研究線面關係或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．

第一步：

按照圖形建立三維坐標系之後，將點的坐標帶進去，求出所需向量的坐標。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量

因為法向量垂直於此平面

所以 n垂直於此面內兩相交直線（其方向向量為 a， b)

可列出兩個方程

兩個方程，三個未知數

然後根據計算方便

取z（或x或y）等於一個數（如等）

代入即可求出面的一個法向量 n的坐標了.

會求法向量后

1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量 n的夾角，所求角為上述夾角的餘角或者夾角減去π/2.

2.點到平面的距離就是求出該面的法向量 n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，

求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量，記為 a

點到平面的距離就是法向量 n與 a的數量積的絕對值除以法向量的模即得所求.

3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量

可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積：

那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。

4.設直線l,m的方向向量分別為 a,b，平面α,β的法向量分別為 μ,ν 則

線線平行

線面平行

面面平行

線線垂直

線面垂直

面面垂直

5.向量的坐標運算：設則

1.=

2.

3.

4()=()

5.

6.

7.

8.