彎矩

彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種，即垂直於橫截面的內力系的合力偶矩。其大小為 該截面截取的構件部分上所有外力對該截面形心矩的代數和，其正負約定為是構件下凹為正，上凸為負(正負區分標準是構件上部受壓為正，下部受壓為負；反之構件上部受拉為負，下部受拉為正。在土木工程中，彎矩圖習慣繪於桿件受拉一側，在圖上可不註明正負號)。比如說一個懸臂樑，當梁端力為，梁長為3m，剛固端彎矩為，而梁的跨中彎矩為，按這個做法可以簡單算，不過更深的演演算法要見《材料力學》了。

圖4中，M就是彎矩作用，v就是剪力作用，n就是軸力作用。

一般而言，在不同的學科中彎矩的正負有不同的規定。規定了彎矩的正負，就可以將彎矩進行代數計算。

在列彎矩計算時，應用“左上右下為正，左下右上為負”的判別方法。凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向，或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向，都將產生正的彎矩，故均取正號；反之為負，即 左順右逆，彎矩為正。

對於土木工程結構中的一根梁（指水平向的構件），當構件區段下側受拉時，我們稱此區段所受彎矩為正彎矩；當構件區段上側受拉時，我們稱此區段所受彎矩為負彎矩。

PKPM給出的彎矩方向：

作用力方向（對基礎）：軸力 N 壓為正（↓）；

彎矩 M 順時針為正（-↓）；

剪力 V 順時針為正（→）。

彎矩公式：

表示最大彎矩，F表示外力，L即為力臂)。

彎矩圖是一種圖線，用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況。總結 規律如下：

（1）在梁的某一段內，若無分佈載荷作用，即，由可知，M(x)是x的一次函數，彎矩圖是斜直線。

（2）在梁的某一段內，若作用分佈載荷作用，即，則，可以得到M(x)是x的二次函數。彎矩圖是拋物線。

（3）在梁的某一截面內，若,則在這一截面上彎矩有一極值（極大或極小）。即彎矩的極值發生在剪力為零的截面上。

圖6-9 a、b、c分別畫出了同一根粱AB受q、M兩種載荷作用、q單獨作用及M單獨作用的三種受力情況。

在q、M共同作用時

從計算結果中可以看到，梁的支座反力和彎矩都是荷載(q、M)的一次函數，即反力或彎矩與荷載成線性關係。這時，g、M共同作用F所產生的反力或彎矩等於g與M單獨作用時所產生的反力或彎矩的代數和：

這種關係不僅在本例中存在，而且在其他力學計算中普遍存在，即只要反力、彎矩（或其他量）與載荷成線性關係，則若干個載荷共同引起的反力、彎矩（或其他量）等於各個載荷單獨引起的反力、彎矩（或其他量）相疊加。這種關係稱為疊加原理。應用疊加原理的前提是構件處在小變形情況下，這時各荷載對構件的影響各自獨立。