彎矩

一種力矩定理定律

彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種。通俗的說法:彎矩是一種力矩。另一種解釋說法,就是彎曲所需要的力矩,下部受拉為正(上部受壓),上部受拉為負(下部受壓)。它的標準定義為:與橫截面垂直的分佈內力系的合力偶矩。

計算公式M=θ·EI/L,θ轉角,EI轉動剛度,L桿件的有效計算長度。

定義及內容


彎矩 圖3
彎矩 圖3
彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種,即垂直於橫截面的內力系的合力偶矩。其大小為 該截面截取的構件部分上所有外力對該截面形心矩的代數和,其正負約定為是構件下凹為正,上凸為負(正負區分標準是構件上部受壓為正,下部受壓為負;反之構件上部受拉為負,下部受拉為正。在土木工程中,彎矩圖習慣繪於桿件受拉一側,在圖上可不註明正負號)。比如說一個懸臂樑,當梁端力為,梁長為3m,剛固端彎矩為,而梁的跨中彎矩為,按這個做法可以簡單算,不過更深的演演算法要見《材料力學》了。
圖4中,M就是彎矩作用,v就是剪力作用,n就是軸力作用。
彎矩 圖4
彎矩 圖4

區分正負


彎矩 圖1
彎矩 圖1
彎矩 圖2
彎矩 圖2
一般而言,在不同的學科中彎矩的正負有不同的規定。規定了彎矩的正負,就可以將彎矩進行代數計算。
在列彎矩計算時,應用“左上右下為正,左下右上為負”的判別方法。凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向,或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向,都將產生正的彎矩,故均取正號;反之為負,即 左順右逆,彎矩為正。
對於土木工程結構中的一根梁(指水平向的構件),當構件區段下側受拉時,我們稱此區段所受彎矩為正彎矩;當構件區段上側受拉時,我們稱此區段所受彎矩為負彎矩。
PKPM給出的彎矩方向:
作用力方向(對基礎):軸力 N 壓為正(↓);
彎矩 M 順時針為正(-↓);
剪力 V 順時針為正(→)。

計算公式


彎矩公式:
表示最大彎矩,F表示外力,L即為力臂)。

彎矩圖


彎矩圖
彎矩圖
彎矩圖是一種圖線,用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況。總結 規律如下:
(1)在梁的某一段內,若無分佈載荷作用,即,由可知,M(x)是x的一次函數,彎矩圖是斜直線。
(2)在梁的某一段內,若作用分佈載荷作用,即,則,可以得到M(x)是x的二次函數。彎矩圖是拋物線。
(3)在梁的某一截面內,若,則在這一截面上彎矩有一極值(極大或極小)。即彎矩的極值發生在剪力為零的截面上。

疊加原理


圖6-9 a、b、c分別畫出了同一根粱AB受q、M兩種載荷作用、q單獨作用及M單獨作用的三種受力情況。
疊加原理圖
疊加原理圖
在q、M共同作用時
原理推導
原理推導
從計算結果中可以看到,梁的支座反力和彎矩都是荷載(q、M)的一次函數,即反力或彎矩與荷載成線性關係。這時,g、M共同作用F所產生的反力或彎矩等於g與M單獨作用時所產生的反力或彎矩的代數和:
推導過程
推導過程
這種關係不僅在本例中存在,而且在其他力學計算中普遍存在,即只要反力、彎矩(或其他量)與載荷成線性關係,則若干個載荷共同引起的反力、彎矩(或其他量)等於各個載荷單獨引起的反力、彎矩(或其他量)相疊加。這種關係稱為疊加原理。應用疊加原理的前提是構件處在小變形情況下,這時各荷載對構件的影響各自獨立。