聯合分佈

設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S={e}。設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機變數，由它們構成的一個向量（X,Y），叫做二維隨機向量或二維隨機變數。

設(X,Y)是二維隨機變數，對於任意實數x,y，二元函數：

F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y)

稱為：二維隨機變數(X,Y)的分佈函數，或稱為隨機變數X和Y的聯合分佈函數

聯合概率分佈的幾何意義

如果將二維隨機變數(X,Y)看成是平面上隨機點的坐標，那麼分佈函數F(x,y)在(x,y)處的函數值就是隨機點(X,Y)落在以點(x,y)為頂點而位於該點左下方的無窮矩形域內的概率。

對離散隨機變數而言，聯合分佈概率密度函數為Pr(X = x & Y = y)，即

P(X=x and Y=y)=P(Y=y�X=x)P(X=x)=P(X=x�Y=y)P(Y=y)

因為是概率分佈函數，所以必須有

∑x∑yP(X=x and Y=y)=1

類似地，對連續隨機變數而言，聯合分佈概率密度函數為fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分別代表X = x時Y的條件分佈以及Y = y時X的條件分佈；fX(x)和fY(y)分別代表X和Y的邊緣分佈。

同樣地，因為是概率分佈函數，所以必須有

∫x∫y X,Y(x,y) dy dx=1

若對於任意x和y而言，有離散隨機變數，

P(X=x and Y=y)=P(X=x) ・P(Y=y)

或者有連續隨機變數，

pX,Y(x,y)=pX(x)・pY(y)

則X和Y是獨立的

.

2元聯合分佈可以推廣到任意多元的情況X1, ..., Xn

FX1,…..,xn(x1,….,xn)=fxn�x1,...,xn-1(xn�x1,...,xn-1)fx1,...,xn-1(x1,...,xn-1)