惟一性定理

惟靜況，味件泊松程勢函具唯確。

單制，靜泊松程般達

是電勢，是電場。

對於很大一部分的邊值條件，勢函數的梯度的唯一性（即電場的唯一性）可以如下證明。

反證，假設電勢有兩個解。令，也就是兩個解的差。已知均滿足泊松方程，必須滿足

應用一個恆等式

注意到右邊第二項恆等於零，於是可以將方程改寫為

在邊值條件所確定的邊界內對體積進行積分

應用散度定理，上式可以改寫為

其中是邊值條件確定的曲面邊界。

由於 ，那麼當上式左邊的曲面積分等於零的時候，必須處處為零（即得 )。

這就意味著，該方程的解的梯度是唯一確定的，當且僅當如下條件成立使得上式成立的邊值條件包括：

狄利克雷邊界條件：在曲面邊界有定義。因此。於是，在邊界任意位置，上式成立。

諾伊曼邊界條件：在曲面邊界有定義。因此。於是，在邊界任意位置，上式成立。

修改過的諾伊曼邊界條件（也稱為羅賓邊界條件——其中假設邊界都是帶有已知電荷的導體）：只需在邊界應用高斯定律，也是有定義的。因此，上式成立。

混合邊值條件（上述三個條件的組合）：唯一性定理仍然成立。

邊界曲面還可以是無窮遠的邊界（即所求的電勢所在的區域沒有邊界）。在這種情況下，只要上述的曲面積分等於零，唯一性定理仍然成立。舉個例子，當被積函數下降的速度比表面積快的時候，該積分趨近於零。

• 泊松方程

• 高斯定律

•庫侖定律

• 鏡像法

• 格林函數

• 唯一性定理

• 球諧函數