正交多項式

正交多項式最簡單的例子是勒讓德多項式，此外還有雅可比多項式、切比雪夫多項式、拉蓋爾多項式、埃爾米特多項式等，它們在微分方程、函數逼近等研究中都是極有用的工具。

設ω(x)是定義在區間上的非負荷函數，如果它滿足條件，則稱為 ω(x)為一個權函數。如果定義在上的函數 滿足等式 ,則稱它們在上關於權ω(x)是正交的，並稱為它們的正交區間。對於給定的區間及其上的權函數ω(x)，從冪函數序列出發，可以構造一列多項式：

(1)

使得pn(x)的次數是n，而且其中任意兩個多項式在上都關於ω(x)正交，這時稱 (1)為在上關於權ω(x)的正交多項式系，並稱(1)中每一個多項式為正交多項式。如果正交多項式系(1)還滿足條件·,則稱(1)為在上關於權ω(x)的規範正交多項式系。

為了構造(1)，先計算積分,然後記

以及

則就是在上關於權ω(x)的一個正交多項式系。常記

則n(x)的首項係數為1，n(x)的首項係數是正的，而且是在上關於權ω(x)的規範正交多項式系。對於同一權函數的正交多項式系雖然很多，但是首項係數為 1的正交多項式系或首項係數為正的規範正交多項式系卻是由權ω(x)所惟一確定的。任一n次多項式都可表示為的線性組合。pn(x)的零點全部位於中，而且的相鄰兩個零點間都有pn(x)的一個零點。此外，對於都有如下的遞推公式：

(2)

式中

假設函數ƒ(x)在上關於ω(x)平方可積, 即，則稱為ƒ關於的傅里葉係數,為ƒ的傅里葉級數。若記這個級數前項之和為,則對任何次數小於n的多項式q(x)有而且當時，這個不等式左邊所表示的偏差收斂於零。對於任何正交多項式系，都有連續函數使其傅里葉級數不一致收斂。為了研究傅里葉級數的收斂性，常記 稱為核。顯然。關於核有如下的克里斯托費爾-達布公式

由此易證：若在點x處有界，而且函數關於權ω（t）平方可積，則收斂於ƒ(x)。

常用的正交多項式是關於正交的雅可比多項式

式中，是給定的實數，對於，有

可以算出，此時遞推公式(2)中的 的情況比較簡單，稱作超球多項式。當,也即關於權時，相應的正交多項式稱作勒讓德多項式，它還可表成 當,也即關於權相應的正交多項式稱作切比雪夫多項式，它有表達式

當，也即關於權，相應的正交多項式稱作第二類切比雪夫多項式，它有表達式

這些正交多項式的正交區間都是［-1,1］。它們不僅本身有廣泛的應用，而且其零點還常作為插值過程的結點。此外,還是二階線性齊次微分方程 的解。

如果討論的是無限區間【0,+∞),則常考慮以或為權的正交多項式系與，它們依次稱作拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式，其表達式是

遞推公式是

還依次滿足微分方程

上述理論完全可能推廣為如下形式：設是區間上的非減函數,。如果定義在上的函數滿足等式,則稱他們在上關於權 正交。這裡的積分是勒貝格-斯蒂爾傑斯意義下的積分。為區別上述情況，人們稱這時的權函數 為積分權，而將前面的權函數稱作微分權。由積分權出發建立的正交多項式理論自然要廣泛一些。此外，還可建立多元的正交多項式理論。