數論函數

以正整數為定義域的函數，例如數列{αn}、階乘、冪等都是數論函數。

重要的數論函數

設n的標準分解式為。

①麥比烏斯函數

易知

式中和號表示d過n的所有因數。

② 歐拉函數 表示與n互素且不超過n的正整數的個數，易證

這裡。1801年，C.F.高斯證明了。關於歐拉函數，有一個迄今尚未解決的猜想：不存在複合數n使得。這個猜想是1932年由D.H.萊默爾提出來的。1962年，柯召和孫琦證明了這樣的複合數存在，n至少是12個不同的奇素數的乘積；1980年,G.L.科恩和P.哈吉斯用計算機改進到n至少是14個不同的奇素數的積。

③除數函數

當時，則有

當時，

，正整數n滿足時，n就叫做完全數。

④曼格爾德特函數則有

和

后一恆等式在素數分佈理論中有用。

狄利克雷卷積

設和是兩個數論函數，則叫做和的狄利克雷卷積，記為。顯然,ƒ(n)也是一個數論函數, 且有 這裡也是一個數論函數。狄利克雷卷積是研究數論函數的重要概念。可以證明：全體的數論函數ƒ(n)，對於狄利克雷乘積*組成一個阿貝爾群。

積性函數和完全積性函數 若，有,稱數論函數為積性函數；若對任意正整數m、n，都有，則稱數論函數ƒ(n)為完全積性函數，例如是積性函數，但不是完全積性函數。曼格爾德特函數Λ(n)是非積性函數。積性函數有下列性質：①若ƒ(n)是一個非恆等於0的積性函數，則有和②若ƒ1(n)和ƒ2(n)都是積性函數，則也是積性函數；③若和是積性函數，則也是積性函數。

麥比烏斯反演公式

設n為正整數，若則有反之亦然。這就是著名的麥比烏斯反演公式，它還有乘積表達式。則麥比烏斯反演公式是R.戴德金1857年給出的，它有多種推廣形式，在數論和組合數學中都很有用。例如由用麥比烏斯反演公式立即可得因為nu是積性函數，所以也是積性函數，於是容易求得的表達式。以素數p為模，把多項式分解為不可約多項式之積，設其素因式的次數為m,已知，反之，任一個次不可約多項式一定是該式的因式，設φn表示對模p的n次不可約多項式的個數，故有由麥比烏斯反演公式得故得，即知道元素個數為pn的有限域存在。