戴德金

1831年10月6日生於德國下薩克森州東部城市不倫瑞克一知識分子家庭。父親為法學教授，母親亦出身於知識分子家庭。早年在不倫瑞克大學預科學習化學和物理。

1848年入卡羅萊納學院攻力學、微積分、代數分析、解析幾何和自然科學。

1850年轉入哥廷根大學新辦的數學和物理學研習班，從數學家C.F.高斯研究最小二乘法和高等測量學，從斯特恩攻數論基礎，從韋伯攻物理，並選修過天文學。

1852年以題為《關於歐拉積分的理論》一論文獲得哲學博士學位。畢業後於1854年留校任代課講師。

1855年高斯去世后，戴德金在格丁根大學又先後聽過狄利克雷教授的數論、位勢理論、定積分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿貝爾函數和橢圓函數等課程，進而萌生了藉助於算術性質來重新定義無理數的想法。

1855年起，他開始講授伽羅瓦理論，成為教壇上最早涉足這一領域的學者。

1858－1862年在蘇黎世綜合工業學院任教授。此間主要進行實數理論基礎的研究。

1862－1912年任不倫瑞克高等技術學校教授，在那發展了有理數和無理數可以構成一個（無空隙的）實數的連續系統，前提是實數和直線上的點有著一對應的關係。並先後當選為法國科學院、柏林科學院和羅馬科學院院士。

1888年，戴德金提出了算術公理的完整系統，其中包括完全數學歸納法原理的準確表達方式，把映象的許多概念用最普通的形式引入數學中。此外，他還研究了結構理論的基礎，使之成為現代代數的中心分支之一。現今數學上的許多命題和術語，如環、場、結構、截面、函數、定理、互換原理等，都是與他的名字聯繫在一起的。他於1916年2月12日在不倫瑞克去世。儘管他的關於數學基本理論的許多重要思想在他生前並未被人們充分認識，但仍然影響著現代數學的發展。

戴德金的主要成就是在代數理論方面。他研究過任意域、環、群、結構及模等問題，並在授課時率先引入了環（域）的概念，並給理想子環下了一般定義，提出了能和自己的真子集建立一對應的集合是無窮集的思想。在研究理想子環理論過程中，他將序集（置換群）的概念用抽象群的概念來取代，並且用一種比較普通的公式（戴德金分割概念）表示出來，比康托爾的公式要簡化得多，並直接影響了後來皮亞諾的自然數公理的誕生。是最早對實數理論提出了許多論據的數學家之一。1855年在教授伽羅瓦理論時引入了“域‘的概念。

戴德金在數學上有很多新發現。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要貢獻有以下兩個方面：在實數和連續性理論方面，他提出“戴德金分割”，給出了無理數及連續性的純算術的定義。1872年，他的《連續性與無理數》出版，使他與G.康托爾、K.魏爾斯特拉斯等一起成為現代實數理論的奠基人。在代數數論方面，他建立了現代代數數和代數數域的理論，將E.E.庫默爾的理想數加以推廣，引出了現代的“理想”概念，並得到了代數整數環上理想的唯一分解定理。今天把滿足理想唯一分解條件的整環稱為“戴德金整環”。他在數論上的貢獻對19世紀數學產生了深刻影響。

《連續性與無理數》、《整代數的理論》、《數論講義》、《數是什麼？數應當是什麼？》和《數學論文集》等。

假設給定某種方法，把所有的有理數分為兩個集合，A和B， A中的每一個元素都小於B中的每一個元素，任何一種分類方法稱為有理數的一個分割。

對於任一分割, 必有3種可能, 其中有且只有1種成立:

A有一個最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≤1的有理數，B是所有>1的有理數。 B有一個最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數。B是所有≥1的有理數。 A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有負的有理數，零和平方小於2的正有理數，B是所有平方大於2的正有理數。顯然A和B的並集是所有的有理數，因為平方等於2的數不是有理數。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因為這樣就有一個有理數不存在於A和B兩個集合中，與A和B的並集是所有的有理數矛盾。

第3種情況，戴德金稱這個分割為定義了一個無理數，或者簡單的說這個分割是一個無理數。

前面2種情況中，分割是有理數。

這樣，所有可能的分割構成了數軸上的每一個點，既有有理數，又有無理數，統稱實數。