夏鸞翔

夏鸞翔從小聰穎好學，善於吟詩作文，對音韻、天文、卜筮、星命、篆刻等，都廣為涉獵，尤其精通數學，擅長繪畫。是項名達的入室弟子，與戴煦交往頗深，曾隨游廣州，結識鄒伯奇、吳嘉善等數學家。夏鸞翔對平面幾何、三角函數及曲線，都有深入研究，在曲線方面造詣最深：“講究曲線諸術，洞悉圓出於方之理。匯通各法，推演以盡其變。”“又於中法外獨創捷術，非西人所能望其項背。”

著有《洞方術圖解》、《致曲術》、《致曲線》、《致曲圖解》和《萬象一原》等數學專著。

在繪畫方面，最擅長白描人物，曾為庄仲方畫《碧血錄》5捲圖像，上起秦朝蒙恬、蒙毅，下迄明代盧象升，共232人，繪圖121幅。對歷朝官制、文武冠服，考據詳明，畫面布局，位置疏密，匠心獨運。文學上，工五言詩，所作詩歌大多是憂時感事之作，著有《春暉山房詩集》、《嶺南集》等。

夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項梅侶入室弟子。講究曲線諸術，洞悉員出於方之理。匯通各法，推演以盡其變，撰洞方術圖解二卷，自序略曰：“自杜氏術出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細思連比例術者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術，必合諸乘方積而並求之。設不得諸乘方積遞差之故，方積何能並求？且並求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之數而後可，誠極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之數與諸乘尖堆之數，數異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數，增一根則增一較；方積之較數，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之數不變，故可省乘。若增其根差，非復單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術，俾求表者得以加減代乘除。並細繹立術之義，以俟精於術數者採擇。”

又撰致曲術一卷，曰平員，曰橢員，曰拋物線，曰雙曲線，曰擺線，曰對數曲線，曰螺線，凡七類。類皆自定新術，參差並列，法密理精。復著致曲圖解一卷，謂天為大員，天之賦物，莫不以員。顧員雖一名，形乃萬類。循員一匝，而曲線生焉。西人以線所生之次數分為諸類，一次式為直線；二次式有平員、橢員、拋物線、雙曲線四式；三次式有八十種；四次式有五千餘種；五次以上，殆難以數計矣。今但二次式四種，溯其本源，並附解諸乘方。拋物線形雖萬殊，理實一貫。諸曲線式備具於員錐體，員錐者，二次曲線之母也。橢員利用聚，拋物線利用遠，雙曲線利用散，其理皆出於平員。苟會其通，則制器尚象，仰觀俯察，為用無窮矣。今為一一解之，其目為諸曲線始於一點終於一點第一，諸式之心第二，準線第三，規線第四，橫直二徑第五，兌徑亦名相屬二徑第六，兩心差第七，法線切線第八，斜規線又名曲率徑第九，縱橫線式第十，諸式互為比例第十一，八線第十二。

又嘗立捷術以開各乘方，不論益積、翻積，通為一術，俱為坦途，可徑求平方根數十位，成少廣縋鑿一卷。

鸞翔同治三年卒。因方積之較而悟求求弦矢之術，駸駸乎駕西人而上之，然微分所棄之常數，猶方積之方與隅也。所求之變數，猶兩廉遞加之較也。其術施之曲線，無所不通，鸞翔猶待逐類立術，是則不能不讓西人以獨步。然西法開方，自三次式以上，皆枝枝節節為之，不及中法之一貫。鸞翔又於中法外獨創捷術，非西人所能望其項背雲。