傳遞關係

二元關係Ｒ是傳遞關係，當且僅當對任意對象，如果ａ和ｂ有關係Ｒ，ｂ和ｃ有關係Ｒ，那麼ａ和ｃ有關係Ｒ。如“大於”關係。

在邏輯學和數學中，若對所有的屬於X，下述語句保持有效，則集合X上的二元關係R是傳遞的：「若a關係到b且b關係到c，則a關係到c。」

數學上表示為：

\foralla,b,c\inX,\aRb\andbRc\;\RightArrowaRc

例如："大於等於"是種傳遞關係：若且則。

傳遞關係舉例：

"等於"（等於）

"是……的子集"（集合的包含）

"小於等於"和"大於等於"（不等）

"除"（整除）

滿足自反性的傳遞關係稱為預序關係。滿足反對稱性的預序關係稱為偏序關係。滿足對稱性的預序關係稱為等價關係。

綜上所述。判斷一個A上的二元關係具有哪些性質。可以從定義出發，或者觀察關係的關係圖和關係矩陣。對於一些簡單的特徵明顯的關係是容易判斷的，然而如何判斷任意一個關係具有哪些性質呢?下面給出判斷的形式化表示。

定理1設R是A上的二元關係，則

(1)R是自反關係。

(2)R是反自反關係。

(3)R是對稱關係。

(4)R是反對稱關係。

(5)R是傳遞關係。

例2利用定理1判斷例1中各關係具有的性質。

解：5種性質都不具備，原因如下。

(1)，而，所以，故不具有自反性。

(2)，故不具有自反性。

(3)，故不是對稱的。

(4)，故不是反對稱的。

(5)，故不是傳遞的。

同理可以判斷：

是對稱的，不是自反的、反自反的、反對稱的、傳遞的；

是自反的、對稱的，不是反自反的、反對稱的、傳遞的；

是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的；

是自反的、反對稱的、傳遞的，不是反自反的、對稱的；

是反自反的、反對稱的、傳遞的，不是自反的、對稱的。

傳遞關係二元關係

設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即

則稱R為從集合A到集合B的一個二元關係，簡稱為從A到B的一個二元關係。

若稱R為空關係。

若，稱為全關係。

當時，稱二元關係為A上的二元關係。

當時，記稱之為A上的恆等關係。

傳遞關係自反關係與反自反關係

定義1令R是A上的二元關係，若對於A中的每個都有，則稱R具有自反性(或稱R是自反關係)。

即R是A上的自反關係。

定義2令R是A上的二元關係，若不存在A中的，使得，則稱R具有反自反性(或稱R是反自反關係)。

即R是A上的反自反關係。

自反的關係亦稱“具有反身性的關係”。對於類K中一個確定的關係R來說，若類K中任意的個體和它自身都具有關係R，則稱關係R在類K中為自反的關係。若類K中沒有一個個體和它自己具有關係R，則稱關係R在類K中為反自反的關係。若類K中有的個體和它自己具有關係R，而有的個體和它自己不具有關係R，則稱關係R在類K中為非自反的關係。例如，設類K為實數域，則等於關係“=”是自反的關係，大於關係“>”，小於關係“<”都是反自反的關係。“x的平方數是Y”的這種關係就是非自反的關係。因為0的平方數是0，1的平方數是1，即當x為0(或1)時，y也同時為0(或1)，但當x為其它實數時，x的平方數y就不能再與x相同了。所以，“x的平方數是y”的這種關係就既不是自反的關係，也不是反自反的關係，而是非自反的關係。

【例1】設，下列幾個是A上的二元關係。

；

。

其中，哪些是傳遞關係?

解：是傳遞的。對這些關係可以證明，若和屬於一個關係，則也屬於這個關係，例如傳遞的，因為中只有和和和以及和是這樣的有序對，而和屬於。

同理可證是傳遞的。

雖然只有一個序對，但它沒有違反傳遞性的規則，故也是傳遞的。

不是傳遞的。因為。

不是傳遞的，因為而。

不是傳遞的，因為，而。

傳遞關係在關係圖上特徵表現為如果結點u到v有邊，v到w有邊，則必有從u到w的邊。