時間序列模型

時間序列分析根據系統觀測序列據，曲線擬合和參數估計來建立數學模型的理論和方法。它一般採用曲線擬合和參數估計方法（如非線性最小二乘法）進行。時間序列分析常用在國民經濟宏觀控制、區域綜合發展規劃、企業經營管理、市場潛量預測、氣象預報、水文預報、地震前兆預報、農作物病蟲災害預報、環境污染控制、生態平衡、天文學和海洋學等方面。

模型稱歸移均(   )模型，擬合穩序列模型，細 AR模型(auto regression model)、 MA模型(moving average model)和 ARMA模型(auto regression moving average model)三大類。

模型：

一般的p階自回歸過程AR(p)是

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p + mt (*)

如果隨機擾動項是一個白雜訊(mt=et)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p +et

MA模型

如果mt不是一個白雜訊，通常認為它是一個q階的移動平均（moving average）過程MA(q)：

mt=et - q1et-1 - q2et-2 - ¼ - qqet-q

該式給出了一個純MA(q)過程（pure MA(p) process）。

ARMA模型：

將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（autoregressive moving average）過程ARMA（p,q）：

Xt=j1Xt-1+ j2Xt-2 + … + jpXt-p + et - q1et-1 - q2et-2 - ¼ - qqet-q

限制條件

條件一：

這個限制條件保證了模型的最高階數。

條件二：

這個限制條件實際上是要求隨機干擾序列 為零均值白雜訊序列。

條件三：

這個限制條件說明當期的隨機干擾與過去的序列值無關。

ARIMA模型又稱自回歸求和移動平均模型，當時間序列本身不是平穩的時候，如果它的增量，即的一次差分，穩定在零點附近，可以將看成是平穩序列。在實際的問題中，所遇到的多數非平穩序列可以通過一次或多次差分后成為平穩時間序列，則可以建立模型：

這說明任何非平穩序列只要通過適當階數的差分運算實現差分后平穩，就可以對差分後序列進行ARIMA模型擬合了。

模型是指階差分后自相關最高階數為，移動平均最高階數為的模型，通常它包含個獨立的未知係數：。它可以用最小均方誤差原則實現預測：

用歷史觀察值的線性函數表示為：

式中，的值由下列等式確定：

如果把記為廣義自相關函數，有

容易驗證的值滿足如下遞推公式：

那麼，的真實值為：

由於的不可獲取性，所以的估計值只能為：

真實值與預測值之間的均方誤差為：

要使均方誤差最小，當且僅當，所以在均方誤差最小原則下，期預報值為：

預測誤差為：

真實值等於預測值加上預測誤差：

其中，預測誤差的均值和方差分別為：

用觀測、調查、統計、抽樣等方法取得被觀測系統時間序列動態數據。

根據動態數據作相關圖，進行相關分析，求自相關函數。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，並能發現跳點和拐點。跳點是指與其他數據不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值，在建模時應考慮進去，如果是反常現象，則應把跳點調整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變為下降趨勢的點。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如採用門限回歸模型。

辨識合適的隨機模型,進行曲線擬合，即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數據。對於短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節模型加上誤差來進行擬合。對於平穩時間序列，可用通用ARIMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARIMA模型等來進行擬合。當觀測值多於50個時一般都採用ARIMA模型。對於非平穩時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。

時間序列是一種特殊的隨機過程，當中的取非負整數時，就可以代表各個時刻，就可以看作是時間序列（time series),因此，當一個隨機過程可以看作時間序列時，我們就可以利用現有的時間序列模型建模分析該隨機過程的特性。

根據對系統進行觀測得到的時間序列數據，用曲線擬合方法對系統進行客觀的描述。

當觀測值取自兩個以上變數時，可用一個時間序列中的變化去說明另一個時間序列中的變化，從而深入了解給定時間序列產生的機理。

一般用ARMA模型擬合時間序列，預測該時間序列未來值。

根據時間序列模型可調整輸入變數使系統發展過程保持在目標值上，即預測到過程要偏離目標時便可進行必要的控制。

DPS數據處理系統提供給用戶一套較完整的時間序列建模分析、進行預測預報的工具，包括平穩無趨勢時間序列分析預測、有趨勢的時間序列預測、具季節性周期的時間序列預測以及差分自回歸滑動平均(ARIMA)建模分析、預測等時間序列分析和建模技術。