物理系統

到現在為止我們忽略了物理系統的很多方面，只涉及比如信息這樣的抽象概念。儘管假設每個存儲或傳輸的位都在某個物理實體中說明，但我們集中討論抽象位而忽略了物理定律施加的任何限制。這是信息時代的主要的隱患。

以前不是那樣的，將來也不是。在過去的幾個世紀，信息的物理表示非常重要，因為它成本很高。為了保存或發送信息，需要寫成書或者甚至把字刻到石頭上。比如試想一下中世紀製造書稿的過程。頁面的複製和加入插圖都很困難。成品以其藝術性和文化重要性被現在的人們羨慕，部分是因為製造起來非常昂貴——社會只能承受將最重要的信息記錄，而與其他製造成本相比一流的藝術品的成本並不是非常高。

多年的進步提高了信息存儲和傳輸的效率——試想一下印刷術、電報、電話、無線電廣播、電視、數字信號處理、半導體、光線。這些東西造就了使能的複雜系統，諸如計算機、數據網路，甚至造就了為娛樂創作和分配的經濟系統。隨著數據處理成本的下降，應當考慮與製造、維護和利用信息的成本相比可以忽略不計的領域了。就在這個領域資訊理論的抽象概念、位、編碼和所有計算機科學佔據著主流。社會的各個領域都處理著日益增加的可用的信息量。甚至由於信息處理的經濟的變化著作權、版權、專利權和交易機密的思想都在更新。這就是信息時代。

與其物理實體分開的信息的模型當然是實際情況的一個近似。隨著我們製造的微電子系統越來越複雜、使用越來越小的組建，我們最終會面臨基本的限制，它並非來自製造微結構的能量，而是來自物理學的基本定律。支配所有物理系統的這個基本定律就是量子力學。

這個重要概念我們用了這麼長的時間，以至於需要重新解釋量子力學有哪些重要領域

那些可以在小的擾動下存儲信息的設備使得數字抽象成為了可能

面對不確定性，用概率表示我們的知識

最大熵原理作為一個方法可以無偏差地估計概率值.

量子力學很怪異。好像沒有方法使它呈現出別的樣子。它的很多預言都與日常經驗的預期不一致。

量子力學很神秘，即使是對非常好的物理學家也是如此。人們對它的方程和方法基本思想和解釋有爭議。

量子力學很難應用。需要相對高級的數學技巧。即使是線性的，那基本方程仍是一個偏微分方程，除了在少數非常簡單的情況下，無法用解析的方法求出。通常數字解是必須的。

就像其他物理理論一樣，量子力學需要在建模和數學方法的技巧與判斷力。在研究生或高年級本科階段並不曾有什麼講授。

量子力學以不同的形式出現。有很多可以替換的闡述。這些闡述通常是等價的，就是說

它們得出相同的實驗結果，但它們並不同樣地易於學習或用於特定用途。

根據這些性質，為什麼量子力學這麼重要呢？因為它確實有效。它是唯一的基礎物理理論可以應用於如此廣泛的領域。它的預言已經反覆地被實驗證明。它適用於日常的物體，適用於天體（儘管通常情況下對它們並非必需）。它適用於原子級尺寸的物體、電磁波和亞原子物體。有一種說法是它與狹義相對論相一致。現在唯一沒有處理得很好的物理現象就是重力；量子力學還沒有擴展到與廣義相對論一致的程度。

本講義中我們不涉及這麼深層次的量子力學。為了研究物理系統中的信息處理，我們只需要理解這些系統具有的一少部分性質。特別地，我們需要一個物理系統的模型，它有很多種可能的狀態，每種狀態都伴隨著系統實際處於狀態（即，該狀態“被佔用”）的概率。這些狀態都有與之相關的物理性質，能量就是其中之一。量子力學把這個模型合理化了。

我們把這個模型用在兩種情況。第一種（如下）有很多種狀態，目的是理解與這些狀態相關的信息如何影響能量流。第二種（在本講義中後面的章節中）有很少的狀態，用佔用這些狀態表示信息，目的是理解量子力學施予的限制和機會。

下面的兩節名為“量子力學概述”和“靜止狀態”，已經準備好在沒有證明的情況下接受狀態模型的讀者可以跳過這兩節。他們直接可以跳到“多狀態模型”這一節。其他的讀者仔細得學習這兩節，可以得到一些關於如何從量子考慮得出這個模型的提示，在這個過程中也許會理解量子力學的某些方面，可以使它不那麼神秘。

一個要進行能量存儲、轉移和轉化的物體一定有幾種可能的狀態。這樣的物體通常由大量（比如阿伏加德羅常數）相似或相同的粒子組成，所以由大量的靜止狀態。薛定諤方程不能處理這種情況。為了傳輸能量或從外界獲取能量需要經常與外界互相影響。不可能知道系統是否處於一個靜止狀態，甚至是如果知道了，那麼與外界環境不可預測的互相影響很快地會使得這種知識毫無關聯。

對這種系統最多能做的就是處理各個佔用的靜止狀態的概率能量E的期望值是

用這種方法建立起這個模型，它很適合應用最大熵原理估算所佔用的概率分佈。本講義的下一章會繼續這個主題。

要執行信息存儲、傳遞或處理的物體應該避免誤差，誤差是與外界環境進行不可能預測的互相影響時固有的。處理信息的最簡單的物體需要兩個狀態。一位信息可以關聯繫統佔用哪個狀態。有多於兩個狀態的更複雜的物體可以表示多於一位的信息。

量子信息系統，包括計算機和通信系統。

詢問一個物理實體的話，第一個問題可能就是“它在哪裡？”根據日常經驗，我們可以很精確的回答這個問題，只是要受測量儀器質量的限制。在極小物體的這個範圍，有某些基本的限制，必須用量子力學來回答那個問題。

從核心上說量子力學涉及能量。由於質量和能量的等價性（想一想愛因斯坦的著名公式，其中c是光速米/秒），量子力學還涉及有質量的粒子。由於光子能量和其頻率之間的關係（，其中h是普朗克常數，焦－秒），量子力學還涉及到光子。

根據量子力學，“它在哪兒”這個問題不能確定地回答。那我們如何處理這個不確定性呢？用分配概率的方法。由於空間的連續性質和其範圍上的無限性，這有一點複雜，但對於事件的無限集合來說處理思想是一樣的。概率密度非負，它對全體空間的積分為1（這就像所有互斥且完備的事件的概率之和等於1）。

所以在量子力學里，一個物體用隨時間演變的一個“概率點”來表示。它怎麼演變呢？基本的方程不是根據概率密度寫出的，而是根據空間和時間的另一個函數寫出的，由它可以求出概率密度。

考慮一下概率密度的平方根，把它看作是空間和時間的一個函數。這樣為了增加一些一般性，令平方根可正可負—將其平方就得到概率密度，每個人都會。下一步，為了更大的一般性，使這個平方根在複平面內有任意的相角，這樣它就有了實部和虛部。我們不再叫它平方根，而是“波函數”，它使空間r和時間t的一個函數。概率密度就是波函數絕對值的平方),（11.1）

其中星號？表示複數共扼。

前面涉及概率時，我們從沒有根據什麼初等概念表示它們。現在為什麼需要這樣做呢？因為量子力學的基本方程涉及。為什麼？別這麼問。這只是量子力學眾多怪異性質中的一個。),

量子力學的基本方程是薛定諤方程，它由奧地利物理學家(1887-1961)發現。

其中i是（虛數的）-1平方根，m是物體質量，是勢能函數，它的空間梯度是作用在物體上的力的複數，)(要注意這個方程包含著空間和時間的偏微分。對時間的微分是第一階，對空間的微分是第二階。拉普拉斯運算元定義為2? （11.3）

其中x，y和z是三個空間維度。

這個方程一般通過把它乘以再對空間積分來解釋。然後左側視為全部能量，右側視為動能和勢能之和（假設波函數被規範化，這樣),的空間積分為1，這是根據概率密度解釋這個方程所需的一條性質）。

這個方程令人迷惑地簡單。它是),(trΨ的線性方程，就是說如果1和2是解，那麼它們任意一個線性組合也是解（11.4）

其中是復常數（如果這個線性組合得到是一個有效的概率分佈，那麼1α和2α的值必須是使的空間積分為1的那樣的值）。然而，除了最簡單的情況以外，這個方程不能以閉合形式解得。

嚴格地說，該方程只有在物體在整個宇宙中討論時才真的正確，這種情況下因為太複雜方程就沒有用了。但是，它通常用做近似情況，這時把宇宙看作兩部分——正計算其波函數的一個小的部分（該物體）和剩餘的宇宙（“外界環境”），它對物體的影響被假定用表示。注意這個物體可能是一個單個的光子、一個電子或兩個以上的例子，即它不必符合單個粒子的正規概念。

一個物體會與它的外界環境互相影響。很自然地，如果一個物體改變了它的環境（如果要測量物體的某個屬性時就會發生），那麼環境就會改變這個物體。量子力學的一個很有趣的結論是測量了一個物體某個屬性后，它通常會有一個不同的波函數，結果就不能確定物體以前的某些屬性。

儘管對於一個給定的，薛定諤方程可能不能用閉合形式解出，但是不知道解的細節仍可以說出解的很多性質。考慮一些特定形式的解，一個空間函數與另一個時間函數的乘積。從薛定諤方程很容易表明對於某個實數E（實數是因為否則就會在非常大的或小的時間內無限地變化）這種波函數能有的最一般的形式為

其中符合方程（不包括時間） )

對任意值E不能得到)(rφ的非零解。可能在E的某個範圍內可以，只含有特別離散值E的其他範圍會得到非零波函數。一般地說，對應於離散值E的這些解會變得非常小（即它們“在無窮遠處消失”），因此儘管它們有多於一個的“概率點”，它們還是會在空間中停下來。

這些解被稱為“靜止狀態”，因為波函數的量（所以概率密度也是如此）不能隨時間而變化；它只是空間的函數。

對靜止狀態，E有一個很有趣的解釋。如果我們用乘以這個方程，再對空間積分，可以看到（就像上一節中的一樣）E是右面兩項的和，即物體的動能和勢能。所以E是和那個解相關的全部能量。)(r?φ

有這樣勢能的薛定諤方程的大多數解都沒有這種形式。但是不要忘了薛定諤方程的解的任意一個線性組合仍是一個解。我們可以把這些靜止狀態當作積木生成更一般的解。

我們對停在空間中一點的靜止狀態非常感興趣，所以儘管可能有很多（甚至是一個可數的無限值），但E的允許值是離散的。如果我們令j為靜止狀態的一個索引，那麼就可能定義結果波函數使得它們都被規範化和“正交化”，前者就是說每個波函數絕對值的平方對空間的積分是1，後者就是說當在全部空間積分時，任何一個波函數和其他波函數複數共扼乘積為0。我們就可以用表示E的值，把它解釋為與那個狀態相聯繫的能量。

這樣薛定諤方程的一般解就寫作靜止狀態的線性組合

其中jα是擴展係數，可能是複數。如果波函數),(trΨ被正交化，則很容易表示為

（11.8）

與該函數相關的能量可以用寫作

從這些關係式我們可以觀察出2jα的性質類似一個事件的概率分佈，這些事件有被佔用的各個狀態組成，這個概率分佈可用於計算與物體相關的平均能量。

我們對量子力學簡單的學習得出的結論可以證明下一節中給出的多狀態模型。那些想不通過任何解釋就接受這個模型的讀者跳過了前面兩節，現在重新和我們走到了一起。

我們用前兩節對量子力學的簡單討論證明了一個物理實體的模型，模型如下。物體有一個波函數，它原則上對時間描述物體的行為。這個波函數可能很難或不可能計算，當物體與外界環境互相影響時，它可能會以某種無法預測的方式改變。Ψ

物體有有限多個（或者可數的無限值）更容易計算的“靜止狀態”（儘管對複雜物體，仍不可能求出它們）。每個靜止狀態都有自己的波函數jΨ，其中j時靜止狀態的索引。如果物體實際的波函數是這些靜止狀態（即，如果這個狀態被“佔用”）中的一個，那麼物體很明確地處在那個狀態（或者直到它與其外界環境互相影響）。每個靜止狀態都有自己的能量，可能還有感興趣的其他物理量的值。je

該物體的波函數可以表示為靜止狀態的一個線性組合，形式為（11.10）

其中jα是複數，稱為擴展係數。如果物體處於一個靜止狀態，則除了一個以外，所有的jα為0。不失一般性擴展係數可以這樣定義：它們絕對值的平方的和為（11.11）

對物體性質的測量（比如能量）涉及到和物體外界環境的相互影響，還有環境的變化（如果這正是記錄結果的理由）。量子力學的結果是如果物體處於一個靜止狀態，測量它的能量，那麼測量結果是簡單的那個狀態的能量，狀態不會改變（即擴展係數不會因為測量而改變，除了一個以外所有的擴展係數為0）。從另一方面講，如果物體不處於靜止狀態，那麼測量結果是一個靜止狀態的能量，物體馬上會假定那個就是靜止狀態。這樣在每次測量后，物體就會處於一個靜止狀態。哪個狀態？狀態j的概率是被選擇的是2jα的那個。這樣實驗測量能量的期望值是Σjjje2α

其中是與靜止狀態j相關的能量。因此量子力學中的測量就不像是日常物體的測量，日常測量中假設能量或其他物理性質不能以任意精度測量，這樣的測量不會攝動該物體。量子測量的這個性質是量子力學諸多性質中的一個，儘管它可能不符合日常生活中的直覺，但必須要接收它。