哈密頓算符

量子力學中，哈密頓算符(Hamiltonian) H為一個可觀測量(observable)，對應於系統的總能量。一如其他所有算符，哈密頓算符的譜為測量系統總能時所有可能結果的集合。如同其他自伴算符(self-adjoint operator)，哈密頓算符的譜可以透過譜測度(spectral measure)被分解，成為純點(pure point)、絕對連續(absolutely continuous)、奇點(singular)三種部分。純點譜與本徵矢量相應，而後者又對應到系統的束縛態(bound states)。絕對連續譜則對應到自由態(free states)。奇點譜則很有趣地由物理學上不可能的結果所組成。舉例來說，考慮有限勢阱的情形，其許可了具有離散負能量的束縛態，以及具有連續正能量的自由態。

哈密頓算符產生了量子態的時間演化。

哈密頓算符產生了量子態的時間演化。若為在時間的系統狀態，其中為約化普朗克常數。此方程為薛定諤方程。（其與哈密頓-雅可比方程具有相同形式，也因為此，冠有哈密頓之名。）若給定系統在某一初始時間（）的狀態，我們可以積分得到接下來任何時間的系統狀態。其中特別的是，若H與時間無關。

首先，“”這個東西具有“雙重性格”，它既是一個矢量，又是一個微分運算元（求導運算），所以哈密頓算符兼具矢量和微分的性質。按照定義；

eg：（圖2）

其中分別為坐標軸的單位矢量。

（圖3）表示D的散度（也記為divD），分別為D在坐標軸上的分量。表示的旋度（也可記為rotH或curlH）。

但僅僅了解到這一地步，對我們以後簡化計算沒有任何幫助，當什麼時候它的優勢就能表現出來呢？那就是▽后的函數不再是一個簡單的的時候，比如說，是兩個標量函數的乘積，那這時就可以使用▽的微分運算性質了，以梯度運算為例，因為我們不知道grad的運演演算法則，所以直接做是不方便的，但將其表示為後，我們利用的微分運算性質，就可以很容易的得到，相當於

矢量運算性質的應用很好理解，這裡不再贅述。知道了它的這些特性后，我們就會發現，場論書籍中給出的所有關於的運算公式，都有著與微分運算相似的形式，綜合這兩個特性，我們就很容易記憶這些公式了。實際上，對每一個公式我們都可以從定義出發給出嚴格的證明，但每次都回歸定義是不利於我們使用好▽的特性的，反而使運算複雜化，這也就與我們引入運算元的初衷相違了。

eg：

再考慮到為微分算符，應在它後面，因此後項改寫為圖7

故得