維納－霍普夫方程

一類給定在無窮區間上的帶差核的奇異積分方程，其一般形式為

(1)

式中為常數;()(-∞<<+∞)和()(0≤<+∞)為已知函數；()(0<<+∞)為未知函數。

方程(1)的研究開始於20世紀20年代初，它早期的著名例子是輻射傳輸理論中的米爾恩方程，後來因1931年N.維納和E.霍普夫給出其求解方法而得名。20世紀40年代以後，這一方程的理論在解析函數邊值問題、調和分析和運算元理論的基礎上得到了系統的發展，其應用也從輻射問題擴展到許多其他領域，例如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問題以及人口理論等。

其基本思想是通過積分變換將原方程化為一個泛函方程，然後再用函數因子分解的方法來求解。下面以方程(1)的求解為例來加以說明。在<0處，令()=()=0,首先將方程(1)開拓到整個實軸，即

式中

若（2）中諸函數滿足適當的條件，例如，存在>0使得()e

,()e和()e屬於(-∞,+∞)，則藉助於傅里葉變換由(2)可得

這裡和下文大寫字母均表示相應函數的傅里葉變換，而大寫字母的下標+和－則分別表示該函數在半平面τ>－和τ<內解析。在許多情況下，對(3)可求出解的表達式。求解的關鍵在於將()=-()因子分解。一個常用的分解定理是，設()在||<內解析、無零點且一致地有

則存在分解

式中()和()可由()求出，它們在相應半平面內無零點。由於在所述條件下，()/()在|τ|<內解析，

由柯西積分公式知，

這裡()和()可用

來表示，因而由(3)得到由此利用解析開拓和廣義劉維爾定理求出φ()和()（準確到相差一個整函數）,然後再對φ()進行傅里葉逆變換即可求得方程(1)的解()。

當僅假定()∈(-∞，+∞)和-()≠0(-∞≤≤+∞)時，-()也有類似分解，這時需要用到調和分析理論中的維納－萊維定理。由此應用巴拿赫空間中的運算元理論，還可在一般函數空間，例如

有界可測函數空間和有界連續函數空間中對方程 (1)進行求解。

用記上述函數空間。方程(1)的一個重要特點是其中積分僅是相應函數空間中的有界運算元，而不是全連續運算元，因此它和弗雷德霍姆積分方程在性質上有著本質的不同。這主要表現在:①齊次方程(1)和它的共軛方程線性無關解的個數一般不相等，它們的差等於

整數()稱為方程(1)的指標；②方程(1)的譜點一般為連續統，其中複平面閉曲線=()(-∞≤≤+∞)上的點為本質譜，亦即對於全連續運算元微擾不變的譜，而使得()>0的點為方程(1)的點譜。

函數-()稱為方程(1)的符號。當符號無零點時，方程（1）稱為正常的，否則稱為例外的。對於正常方程，已經有了比較系統的結果，其中主要有：①　設（）∈(-∞,+∞)，則方程(1)在中滿足諾特定理(見奇異積分方程)的充分必要條件為-()≠0(-∞≤≤+∞)，故正常方程有時也稱為諾特型方程；②當()>0時，齊次方程（1）在中有()個線性無關解，()≤0時無非零解；③當()>0時，非齊次方程(1)在中有()個線性無關解，()=0時，有惟一解，()<0時，無解或有惟一解，有解的充分必要條件是其右端滿足條件

式中()是方程(1)的共軛方程

的線性無關解。至於例外方程，也有不少結果，但尚無系統理論。

以上結果在作相應修改後，對於對偶積分方程、方程 (1)的離散形式特普利茨方程以及有關方程組也都同樣成立。