三分損益法

三分損益法

三分損益法又稱五度相生律,是古代中國發明制定音律時所用的生律法。根據某一標準音的管長或弦長,推算其餘一系列音律的管長或弦長時,須依照一定的長度比例,三分損益法提供了一種長度比例的準則。

中國音樂有悠久的歷史和獨特的創造。秦以前,中國已創造了樂器和樂曲,發明了樂律徠。漢唐盛世,中國音樂以歌舞音樂見長;宋元以後,則以戲曲音樂為主。當今世界公認的音樂律制,如五度相生律(中國稱三分損益律)、純律及平均律,中國皆獨立發明。

起源


今天的人們都知道,樂音的音高,是由發聲樂器震動的頻率所決定的。如果一個聲音的震動頻率為a ;另一個聲音的震動頻率是2a 的話,那麼,后一個聲音就是前一個聲音的“純八度”高音。同理,如果一個聲音的頻率為a ,另一個聲音的頻率為a的一半(a/2),那麼,后一個聲音就是前一個聲音的“純八度”低音。
中國古人雖然不懂得震動發音的物理學理論,但是他們卻總結出了跟現代發聲理論完全一致的道理。一件圓徑固定,長度固定的發聲器所發出的聲音是一個定值,如果另一件圓徑相同發聲器的長度是這件發聲器長度的一半的話,那麼,另一件發聲器所發出的聲音,就是一個純八度的高音。同理,如果另一件發聲器的長度是原來發聲器長度的二倍,那麼,另一件發聲器所發出的聲音,就是一個純八度的低音。中國古人所使用的音階是“五聲音階”,即“宮商角 徵羽”五個音。其中,宮相當於西洋音階的1(dou),商相當於2(re),角相當於3(mi),徵相當於5(sou),羽相當於6(la)。當然,除了這五個基本音階之外,後來也出現“變 徵”等其他的幾個音階,但這已經是秦漢以後的事情了。
在中國古代的音樂理論中,“宮商角 徵羽”這五個音階,相互之間的關係是怎樣的呢?換言之,它們又都是怎樣先後產生的呢?中國古代關於這個內容的律學理論,叫做“三分損益法”。“三分損益法”認為,“宮”是基本音,有了基本音“宮”之後,經過幾次的“三分損益”,其它的四個音階也就產生了。最遲到春秋中期,古代音樂理論“三分損益法”就已經形成了。在《國語》中,在《管子·地員篇》里,在《呂氏春秋·音律篇》中,分別記述了“三分損益法”的一些內容。《史記·律書》和《漢書·律曆志》中的理論,基本上是抄錄《管子》、《呂氏春秋》以及《淮南子》中的相關內容。
三分損益法的記載最早見於春秋時期《管子·地員篇》,是同關於宮、徵、商、羽、角五音的記載聯繫在一起的;到《呂氏春秋·音律篇》,又開始與關於黃鐘、林鐘等十二律長度規範的記載聯繫在一起。按三分損益法生律的次序,求上方五度音之律,古代稱為“下生”;求下方四度之律,古代稱為“上生”。從一律出發,下生5次,上生6次,便可得出十二律。但《呂氏春秋》只有生律方法而無具體數據,《淮南子》後者延續這個方法並計算了十二音的數據。然而這些數據於生律方法不盡相符。通過分析,可以解釋《淮南子》中所呈現的這個矛盾,其實更符合書中所闡釋的哲學觀。過去學界認為在自先秦以來浩繁的樂律學文獻中,這組數據是個孤例,1985年發現的天水放馬灘秦簡,則不僅為淮南律數提供了更早的源頭,也反映了當時人們已經擁有的樂律學認識。

含義


三分損益包含“三分損一”、“三分益一”兩層含義。三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份,即:原有長度×(3-1)/3=生得長度;而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份,即:原有長度×(3+1)/3=生得長度。兩種方法可以交替運用、連續運用,各音律就得以輾轉相生。
這兩種生律方法所形成的長度關係、音程關係及其古代稱呼,三分損益法與古希臘畢達哥拉所用的定律法,阿拉伯人所用的“量音學”,在數理上是相通的、一致的,近現代統稱之為“五度相生法”。但三分損益法,只包括生出高五度與低四度的律,不包括生出低五度與高四度的律,而五度相生法則兼指兩個方向的相生。
“三分損益法”的基本原理是:
以一段圓徑絕對均勻的發聲管為基數——宮(1);然後,將此發聲管均分成三段,捨棄其中的一段保留二段,這就是“三分損一”,餘下來的三分之二長度的發聲管所發出的聲音,就是“宮”的純五度高音—— 徵(5);將 徵管均分成三份,再加上一份,即 徵管長度的三分之四,這就是“三分益一”,於是就產生了 徵的純四度低音——商(2);商管保留三分之二,“三分損一”,於是得出商的純五度高音——羽(6);羽管“三分益一”,即羽管的三分之四的長度,就是角管,角管發出羽的純四度低音——角(3)。
這樣,在有了基本音“宮”之後,經過兩次“三分損一”和兩次“三分益一”,“宮、商、角、徵、羽”五個音階就生成了。宮生 徵,徵生商,商生羽,羽生角,由於是“五五相生”,因此,樂律家們說起五個音階來,他們不說“宮、商、角、徵、羽”,而是說成“宮、徵、商、羽、角”。
三分損益法
三分損益法
根據上述理論而得出的算式,應為:
計算先後程序 所合的音 算 式
(1)宮 1×基本音(假設為81) =81
(2)商 54×4/3 =72
(3)角 48×4/3 =64
(4)徵 81×2/3 =54
(徠5)羽 72×2/3 =48
它們的實際比數是:
宮 商 角 徵 羽
81 72 64 54 48
記載中,管仲實際只相生出了宮、商、角、徵、羽五個音。繼管仲之後,《呂氏春秋》的“音律篇”在管仲五音的基礎上又繼續相生了11次,也就是相生到“清黃鐘”,使十二律的相生得到完成。但當相生到第11次(即到十二律)后的“清黃鐘”時,“清黃鐘”不能回到原出發律上,使十二律不能周而復始,這一問題沒有得到解決。在此後的近二千年中,我國歷代都有一批有識之士對這一律學問題進行了不懈地探索,“三分損益法”在各個時期都有不同的解決辦法,我們當在不同時期進行介紹。
中國明代音樂家朱載堉萬曆十二年(1584年)首次提出“新法密率”(見《律呂精義》、《樂律全書》),推算出以比率1:¹²√2 將八度音等分為十二等分的演演算法,並製造出十二平均律律管及律准,是世界上最早的十二平均律樂器。這一問題才得到解決。
“三分損益法”每制出新的律管與原律管的音高都是上方五度,再下方四度,又上方五度,再下方四度……的關係,但需要再按音高次序調整排列,才能得出十二律,所以它又叫“五度相生律”,亦有稱之為“五度相生法”。《管子·地圓篇》中的相生方法是先“益”后“損”。
“三分損益法”理論是世界上最早制定的“十二律”的理論,比古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯的“律制”要早一個世紀左右。
古人使用“三分損益法”,在生成“宮、徵、商、羽、角”五個音階之後,並沒有停止下來,而是繼續“損益”下去。“三分損一”,“三分益一”……在連續進行了各六次之後,共得出十二個音,就是我們現在音樂上所使用的一個八度之內的十二個半音。中國古人將這十二個半音音階稱為“十二律”,它們的名稱分別是:
黃鐘(C),林鐘(G),太簇(D),南呂(A),姑冼(E),應鐘(B),蕤賓(#F),大呂(#C),夷則(#G),夾鍾(#D),無射(#A),仲呂(#E)。
對這十二律再加以區分,分出了六個陽律和六個陰律,六個陽律稱為“律”,六個陰律稱為“呂”。黃鐘與“三分益一”產生的為陽,六陽律即“律”包括“黃鐘、太簇、姑洗、蕤賓、夷則、亡射”;用“三分損一法”產生的六陰律為“呂”,“六呂”包括“林鐘、南呂、應鐘、大呂、夾鍾、中呂”。
最早見於公元前7世紀齊國丞相管仲《管子·地員》篇中,該書相傳為春秋時管仲(約前730—前645)所著。地員是一篇研究土壤的論文,他依據2/3弦振動是全弦五度音的原理,在一定張力的弦上連續按2/3(損益)4/3(溢益)地方法生出上五度下四度各音,直到生出12律,這種方法為三分損益法,這種律為三分損益率。
《管子·地員》第五十八篇
“凡聽徵,如負豬豕覺而駭。凡聽羽,如鳴馬在野。凡聽宮,如牛鳴窌中。凡聽商,如離群羊。凡聽角,如雉登木以鳴,音疾以清。凡將起五音凡首,先主一而三之,四開以合九九,以是生黃鐘小素之首,以成宮。三分而益之以一,為百有八,為徵。不無有三分而去其乘,適足,以是生商。有三分,而復於其所,以是成羽。有三分,去其乘,適足,以是成角。”