超幾何分佈
統計學上的離散概率分佈
超幾何分佈是專業術語，拼音為chāo jǐ hé fēn bù，是統計學上一種離散概率分佈。它描述了從有限N個物件（其中包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數（不放回）。稱為超幾何分佈，是因為其形式與“超幾何函數”的級數展式的係數有關。超幾何分佈中的參數是M,N,n，上述超幾何分佈記作X~H(n,M,N) 。
產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在N件產品中有M件不合格品，即不合格率。
在產品中隨機抽n件做檢查，發現k件不合格品的概率為,k=0,1,2...min{n,M}。
亦可寫作（與上式不同的是M可為任意實數，而C表示的組合數M為非負整數）
為古典概型的組合形式，a為下限，b為上限，此時我們稱隨機變數X服從超幾何分佈（hypergeometric distribution）。
需要注意的是：
（1）超幾何分佈的模型是不放回抽樣。
（2）超幾何分佈中的參數是M,N,n，上述超幾何分佈記作X~H(n,M,N)。
已經知道某個事件的發生概率，判斷從中取出一個小樣本，該事件以某一個機率出現的概率問題。
例：在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其餘為白球，這些球除顏色外完全相同。遊戲者一次從中摸出5個球。摸到至少4個紅球就中一等獎，那麼獲一等獎的概率是多少？
解：由題意可見此問題歸結為超幾何分佈模型。
其中N = 30. D = 10. n = 5.
P（一等獎） = P(X=4） + P(X=5）
由公式 ,k=0,1,2,...得：
P（一等獎） =
定理：對超幾何分佈X~H(n,M,N) ,隨機變數X的數學期望.
引理一：(1);(2)
引理二：(1);(2)
引理證明：它們均可用恆等式兩邊的展開式中含項的係數相等證明。僅以(2)中的情形證明如下：
的展開式中含項的係數為（注意)
定理證明：當M=N=1時，X的分佈列P(X=0)=1,且有n=1,可得此時欲證成立、
當M=1,N2時，X的分佈列為：
所以（引理一（2））
下證M2時也成立，又分兩種情形：
（1）又當nN-M時，X的分佈列見超幾何分佈的定義有
（2）又當n>N-M時，X的分佈列見超幾何分佈的定義有
因此定理獲證
對X~H(n,M,N) , .
證明：
（此公式利用定義式簡單展開即得）
（提取，變形）
（拆項，變形）
（拆開∑，就是分組求和）
（化簡即得）
超幾何分佈和二項分佈的聯繫
（1）在超幾何分佈中，當 時， (二項分佈中的p）。
（2）當時，超幾何分佈的數學期望
（3）當時，超幾何分佈的方差（二項分佈的方差）。
（4）當時，超幾何分佈近似為二項分佈。
超幾何分佈計算函數
function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN)
for k=kkk to n
AA=1
BBA=1
BBB=1
lll=n
for i= 0 to k-1
BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)
next
for j= k to n
BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)
next
BBs=BBB*BBA
if lll-k>k then
x=K
Else x=lll-k
end if
for i=1 to x
lll=lll-1
next
HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS
next
end function
response.write HYPGEOMDIST（200,2200,1000,17000)
%>
基本信息
- 中文名
- 超幾何分佈
- 外文名
- Hypergeometric Distribution
- 來源
- 產品抽樣檢查
- 應用學科
- 數學、統計學
- 表達式
- X~H(n,M,N)
- 概述
- 統計學上一種離散概率分佈