新型有限元論

全書共20章。除首尾兩章外，其餘18章分為3篇：第1篇是變分原理進展，介紹分區和含參變分原理2項成果；它們為構造新型有限元起理論指導作用。第2篇是有限元法進展初論，重點介紹廣義協調元；這是在協調元與非協調元之間另闢的新路，使收斂問題得到合理解決，單元構造方案可以靈活優選，學科內容得到充實更新；補充介紹4項成果，包括分區混合元法、解析試函數法、四邊形面積坐標法和樣條函數有限元法，在本書中起錦上添花作用。結合7項成果的論述，書中還介紹了相關的新單元，總共108個，彙集在一起，可供參考。

第1章 緒論——發展中的有限元法

1.1 有限元法的特點

1.2 有限元法與變分原理

1.3 有限元法的研究領域

1.4 有限元法新近進展

1.5 編寫方針——按照有限元模式寫有限元

第1篇 變分原理進展

第2章 分區變分管理

2.1 引言

2.2 彈性力學的分區變分原理

2.3 彈性薄板的分區變分原理

2.4 彈性厚板的分區變分原理

2.5 彈性扁薄殼的分區變分原理

2.6 分共混合能量偏導數定理

第3章 含參變分原理

3.1 引言

3.2 泛函數的幾種格式

3.3 含參變分原理

3.4 換元乘子法

第2篇 有限元法進展初論——廣義協調元

第4章 廣義協調元理論

4.1 協調元與非協調元——關於“協調”的思考

4.2 首批廣義協調元——用邊協調取代點協調

4.3 廣義協調元的變分基礎——二重性

4.4 能量法與權殘法的綜合——靈活性

4.5 廣義協調元的收斂性

第5章 薄板廣義協調元Ⅰ——總論

5.1 薄板元的廣義協調條件及其等價形式

5.2 廣義協調薄板元的一般列式

5.3 廣義協調薄板元的幾種構造方案

5.4 近期提出的廣義協調薄板元

第6章 薄板廣義協調元Ⅱ——邊－點協調與Semiloof方案

6.1 邊協調方案——TG-9和TGC-9

6.2 邊－點協調方案——矩形元系列

6.3 邊－點協調文字——三角形元系列

6.4 邊－點協調超基方案——GCⅢ-R12和CGⅢ-T9元

6.5 點協調超基方案——MB1T9和MB2-T9元

6.6 Semiloof協調方案

第7章薄板廣義協調元Ⅲ——周點協調與最小二乘法方案 135

7.1周點協調方案——LR121和LR122元135

7.2周協調條件的應用——ACM元收斂性檢驗 139

7.3周點協調超基方案——BCIZ元的檢驗與改進 144

7.4最小二乘法方案——LSGCR12和LSGCT9元153

第8章厚板廣義協調元 156

8.1厚板理論概述156

8.2厚板理論與薄板理論的比較165

8.3厚/薄梁單元 178

8.4位移型厚/薄板元概述 181

8.5廣義協調厚/薄板元（1）——從假設（Ψ，γ）入手182

8.6廣義協調厚/薄板元（2）——從假設（w，γ）入手192

8.7廣義協調薄/厚板元——由薄板元到厚板元 201

第9章複合材料層合板廣義協調元 207

9.1引言207

9.2基本理論208

9.3新型四邊形層合板單元CTMQ20212

9.4單元應力解的雜交化后處理221

9.5層合板的振動分析225

9.6數值算例226

第10章壓電複合材料層合板廣義協調元 236

10.1引言236

10.2壓電複合材料層合板一階剪切變形理論237

10.3新型四邊形壓電層合板單元CTMQE240

10.4單元應力解的部分雜交化后處理244

10.5數值算例247

第11章廣義協調膜元與殼元 253

11.1引言253

11.2廣義協調等參膜元 253

11.3含轉角自由度的膜元——轉角自由度定義及矩形和四邊形元260

11.4含轉角自由度的膜元——三角形元269

11.5平板型殼元——厚薄通用三角形元GMST18278

11.6扁殼元——變分原理與薄膜閉鎖問題289

11.7扁殼元——具有邊中結點的三角形元SST21293

11.8幾何非線性殼元——三角形平板型殼元GMST18299

11.9幾何非線性殼元——矩形扁殼元SSR28302

第3篇有限元法進展續論

第12章分區混合元Ⅰ——基本理論和裂紋問題 315

12.1分區混合元法概述315

12.2分區混合元法的基本方程317

12.3二維裂紋問題319

12.4厚板裂紋問題325

12.5三維體表面裂紋問題331

附錄

結束語

參考文獻

本書的醞釀過程經歷了兩個階段、20多個春秋。起初，於1978年出版教材《有限元法概論》之後，腦子裡遺留不少亟待破解的學術疑難問題。從“學而後知不足”的格言引發出“著而後求創新”的感悟。經過10多年的師生切磋，相繼在分區和含參變分原理、分區混合元、樣條元、廣義協調元等方面取得創新成果。1992年著手整理，在70多篇論文基礎上，出版專著《新型有限元引論》。這是第一階段——由教材到專著的階段。再過10年，廣義協調元取得新發展，相繼提出四邊形面積坐標與解析試函數法，為剪切閉鎖與梯形閉鎖等疑難問題找到了破解方案。2002年開始重新整理，在200多篇論文的基礎上，撰寫本書，作為有限元理論的一本專著。這是第二階段——專著由單薄到厚重的階段。兩個階段，三書更替，從中可以看到20多個年輪的依稀影子、“知不足”和“求創新”的不息軌跡。

本書旨在作者比較熟悉的方面，對有限元和變分原理的一些進展做一展示，一種遠非完備的展示。全書共20章。除緒論與回顧2章之外，其餘18章分成3篇，分別介紹以廣義協調元為主的7項學科進展。

第1篇是變分原理進展，介紹前2項學科進展。

(1) 分區變分原理（第2章）——其特點是引入分區概念，提出適應有限元需要的新型變分原理。

(2) 含參變分原理（第3章）——其特點是含有可選參數，使變分原理具有更廣泛的優化空間。

第2篇是有限元法進展初論，以8章篇幅專門介紹第3項學科進展。

(3) 廣義協調元（第4章～第11章）——首先，從理論上看，廣義協調元是在協調元與非協調元之間另闢新路，使非協調元收斂之謎得到合理的解決；並提出多種新型協調方案，包括點協調、邊協調、周協調、SemiLoof型、最小二乘型及它們的組合形式。其次，從應用上看，最初成功地應用於薄板彎曲問題，構造出一系列性能優異的薄板廣義協調元；然後推廣到其他領域，構造出一大批新單元，包括膜元、含旋轉自由度膜元、厚薄板通用元、複合材料層合板元、壓電複合材料層合板元、平板型殼元和曲面殼元，使學科內容得到更新。

第3篇是有限元法進展續論，以8章篇幅分別介紹另外4項學科進展。

(4) 分區混合元法（第12章，第13章）——此法利用位移元與應力元的耦合互補，為斷裂問題提供新穎解法。

(5) 解析試函數法（第14章，第15章）——此法體現了解析法與離散法的貼近交融，為解決剪切閉鎖、梯形閉鎖、奇點問題提供有效解法。

(6) 四邊形面積坐標法（第16章，第17章）——此法標誌著面積坐標傳統方法已從三角形傳統領域開拓出去。

(7) 樣條函數有限元法（第18章，第19章）——此法標誌著樣條函數的優點已被有限元學科吸收過來。

在論述7項理論成果的同時，由這些成果直接導出的108個新單元也在書中做了或詳或簡的介紹（參看錶202）。這108個單元的原始論文凌亂地散落於各種學術刊物，很不起眼。現在彙集在一起，不僅便於參考，而且形成陣勢，為本書平添一點特色。

該作品獲得2006年首屆中華優秀出版物（圖書）獎。