分數量子霍爾效應

今年眾所矚目的諾貝爾物理獎，由美國普林斯頓大學的崔琦（Daniel C. Tsui）、哥倫比亞大學的史特莫（Horst L. Stormer）及史丹佛大學的勞夫林（Robert B. Laughlin）三人獲得。得獎理由是「他們發現了一種新形態的量子流體，其中有帶分數電荷的激發態」。

在他們三位的新發現之前，物理學者認為除了夸克一類的粒子之外，宇宙中的基本粒子所帶的電荷皆為一個電子所帶的電荷-e（e=1.6×10-19庫倫）的整數倍。而夸克依其類別可帶有±1e/3或±2e/3電荷。夸克在一般狀況下，只能存在於原子核中，它們不像電子可以自由流動。所以物理學者並不期待在普通凝體系統中，可以看到如夸克般帶有分數電子電荷的粒子或激發態。

這個想法在1982年崔琦和史特莫在二維電子系統中，發現分數霍爾效應後受到挑戰。一年後勞夫林提出一新穎的理論，認為二維電子系統在強磁場下由於電子之間的電力庫倫交互作用，可以形成一種不可壓縮的量子液體（incompressible quantum fluid），會展現出分數電荷的出現可說是非常神秘，而且出人意表，其實卻可以從已知的量子規則中推導出來。

勞夫林還曾想利用他的理論，解釋夸克為什麼會帶分數電子電荷，雖然這樣的想法到目前還沒有成功。勞夫林的理論出現後，馬上被理論高手判定是正確的想法。不過對很多人而言，他的理論仍很難懂。在那之後五、六年間，許多重要的論文陸續出現，把勞夫林理論中較隱晦的觀念闡釋得更清楚，也進一步推廣他的理論到許多不同的物理狀況，使整個理論更為完備。以下扼要說明什麼是分數量子霍爾效應，以及其理論解釋。

霍爾電導係數

我們研究的對象是二維電子系統。假設電子僅能活動於x-y平面上，而在z軸方向有一均勻磁場B，如圖一所示。霍爾效應就是當x軸方向有電流I時，在y軸方向就會有電位差VH。

我們測量I和VH就可以得到霍爾電導係數RH，

（1）

EH是y軸方向的電場強度，J是電流密度。讓我們先從古典電磁學的角度來看RH是什麼。

當電子以速度v在負x軸方向前進，它會受到沿著負y軸方向的磁力（羅倫茲力），大小為evB/c，也會受到y軸方向的電力eEH。這兩個力必須相等，電子才能毫不偏移地在x軸上移動。所以

……………（2）如果n代表電子密度，則電流密度J即是

……………（3）因此

（4）

所以在古典理論中，我們會預期所測量到的RH與磁場B成正比的關係，如圖二所示。但崔琦和史特莫所量到的RH，卻是如圖三所示。我們看到RH和B並不是單純的正比關係，而是當RH上升至一些特殊的磁場附近（如箭頭所指）時會保持不變，我們可以看到出現如平台般的區域。然後RH再上升至下一個平台，彷佛二維電子系統在那些特定的磁場附近有特別的穩定性。在RH處於平台的同時，平行於電流方的電位差V卻降落為零，意思是這時的二維電子進入某種超流狀態，所以電流I不需要由電位差V來推動。

量子霍爾效應

仔細看實驗數據會發覺，在平台上RH的值是（h是普

郎克常數）乘上1/V。ν可以是1,2,3…等整數，或是1/3,2/3,2/5,……等分數。當ν是整數時，我們稱它為整數量子霍爾效應；當ν是分數時，我們稱它為分數量子霍爾效應。

為什麼說它是「量子」效應呢？因為（普郎克常數）出現了。這從古典公式（4）是看不出來的。其實整數量子霍爾效應，是德國物理學者馮克立欽（von Klitzing）是1980年發現的，他也因此在1985年獲得諾貝爾獎。崔琦和史特莫更進一步在高磁場和更低的溫度條件，發現分數量子霍爾效應。接下來將簡單介紹怎麼從量子力學觀點來看霍爾效應，並且解釋ν的意義。

在量子力學中，電子被視為是波，它的運動遵循薛丁格（Schrodinger）方程式，要了解電子行為就要解薛丁格方程式。當電子數目很大，而且電子間的強交互作用不可忽略時，對薛丁格方程式我們幾乎是不可能得到完整而精確的解。勞夫林的貢獻在於他能寫出一個波函數，把二維電子系統的重要物理性質表達出來。要了解這理論，得先知道如果忽略電子間的庫倫交互作用，單一電子在磁場作用下的行為。這個問題已被著名俄國物理學者蘭道（Lev landau）在1930年解決了。他發現二維電子只能處於一些電子態上，其中i和n是標示量子態的量子數。

量子態具有能量En，

如圖四所示。

這En就被稱為Landau能階。重要的是E與量子數i無關，亦即有許多不同的量子態具有相同的能量，也就是簡併態（degenerate states）的出現。究竟有多少個不同的量子態位於同一能階上呢？從蘭道的解答我們可以算出共有Nd個，而且可看出即使在不同能階，其簡併態數目皆相同，

……………（6）

這裡A是電子在二維平面上活動區域的面積，所以BA為磁通量（如圖五所示）。ψ0定義為，是一個磁通量子（fluxquantum）的單位。約略地講，一個磁通量子就對應到一個量子態。前面出現過的參數其定義為

……………（7）

其中Ne為電子個數。例如當ν=1時，電子個數就與最低能階的簡併態數目相同。

因為電子是費米子，兩個電子不能落在同一個量子態上，因此Ne個電子就需要Ne個量子態，所以ν=1時剛好Ne個電子佔滿了最低蘭道能階，如圖六所示。如果ν=1/3則電子個數只是Nd的1/3，即每三個量子態只能"分配"到一個電子，如圖七所示。從參數ν的物理意義可以知道為什麼人們又稱呼它為填充因子（filling factor）。ν=1代表電子完全填滿最低能階，ν=1/3代表最低能階上僅有三分之一的量子態被電子填佔了。

任意子

接下來我們計算當系統的填充因子為ν時，RH會有多大？

因為，從（4）,（6）,（7），我們可得

……………（8）

所以我們可以理解為何ν=1，（或ν=2,3,…）時系統會有「穩定性」：

因為電子完全填滿最低能階（或最低2,3…個能階）。（其實要完全解釋平台的存在，我們得到考慮雜質的效應，但那不是本文要討論的範圍。）然而在ν=1/3時，電子行為又有何特殊之處呢？在解釋之前要先說明一個新奇的概念：任意子（anyon）。我們知道在微觀世界里，粒子分為費米子（fermion ）和波色子（Boson）。以兩個粒子的情形為例，若描述這兩個粒子量子狀態的波函數為，亦即發現粒子位於與的機率振幅，而

……………（9）

當粒子為費米子時，θ= ±π,±3π﹐……，

當粒子為波色子時，θ=0, ±2π,±4π,……。

所以對費米子而言，表示兩個費米子不可能處在同一個點（量子狀態）上。但以上的分類僅適用於三維空間的狀況。若粒子僅能在二維平面上行動，則可以是任意實數，並不受限於θ=0, ±π,±2π, ……。這一類既非費米子又非波色子的粒子叫做任意子。最早提出這個概念的是兩位挪威學者萊納思（J. M. Leinaas）與麥漢（J. Myrheim）。後來美國學者威切克（F. Wilczek）用以下的方式來闡明任意子。

想像一個帶電粒子隨伴有一個（理想上）半徑為零的磁通量束（magnetic flux tube），假設其電荷為e，磁通量為φ。兩個這樣的粒子如果交換位置，如圖八所示，則其波函數

滿足以下的關係

…………（10）原因如下：

要交換，，我們可將第二個粒子固定於，將第一個粒子從繞過第二個粒子至，然後再向左平移使移至，同時移至。我們可以用量子力學計算這個過程的機率振幅，發現粒子帶磁通量束會比不帶時的振幅多一個相位因子（phase factor）。

這多出來的相位因子基本上是由於第一個粒子的電荷受第二個粒子的磁通量束的影響而來，這純粹是量子效應。

在古典物理中，第一個粒子所經過的路途上並沒有磁場，所以第一個粒子不會受第二個粒子磁通量束的影響。這個奇特的量子效應是阿哈若諾夫（Y. Aharonov）與波姆（D. Bohm）在1959年發現的，所以這個因子稱為A-B相位因子。

由於A-B相位的存在，波色子搖身一變成了費米子了！〔嚴格地說，對任意子來說，波涵數不是一個好的概念。細心的讀者可能已經發現如果以逆時針方向繞過則A-B相位因子eiθ會變成e-iθ。也就是說，波函數會依粒子運動的過程而異，所以和一般波涵數意義不同。費曼（R. P. Feynman）的路徑積分（pathintegral）在這裡是比較好的表達語言。〕因為電子是費米子，所以我們可以將它想像成一種波色子（稱為波色電子），其所帶電荷與電子相同，且隨伴著2n+1個磁通量子。在n=1的情形，我們以圖九更清楚地說明以上的解釋。

統計磁場

筆者要強調此處磁通量子中的磁場不同於實際上穿透實驗系統的均勻磁場B。這個改變粒子統計行為（將費米子轉變成波色子或其它任意子）的磁場，我們可以稱為統計磁場或虛擬磁場。其實統計磁場在圖九的情形並不必然要朝著正z軸方向；它也可以指向負z軸方向，而仍然有將電子轉成波色電子的功能。

我們現在可以回來看填充因子ν=1/3的電子系統。這時波色電子會同時感受到外加磁場B與統計磁場的作用。如果選擇統計磁場指向負z軸方向，則平均起來外加磁場B與統計磁場會相互抵消：因為由（7）式可知ν=1/3時，一個電子「分配」有三個外加磁場B的磁通量子，其大小恰好與三個統計磁通量子相等；所以波色電子會認為它並未受到磁場作用。以下用圖示說明ν=1/3的情況。沒有受磁場作用時，波色電子會經由波思－愛因斯坦聚合（Bose-Einstein condensation）效應而凝聚在一起成為超流態，這就說明了ν=1/3的穩定性。至於出現在其它平台的填充因子

ν=1/5,2/3,2/5,3/5,1/7,……

等也可以用波色電子的觀點去理解。

電子間的交互作用力是非常重要的，因為相互排斥的關係，電子喜歡散開而不會靠攏聚集在一起，所以隨著電子移動的統計磁場才能夠均勻地抵消外加磁場。換言之，由於庫倫排斥力，二維電子形成一種新形態的不可壓縮流體，上述的想法也才可能實現。

其實勞夫林最初並不是以波色電子的想法去解釋實驗數據，而是針對ν=1/3態猜出一個先前提過的二維電子基態波函數，並算出此波函數所對應的電子密度恰好就是ν=1/3態的電子密度。他也證明在電子數目不大時，此波函數與數值解非常接近，幾乎一致。他的波函數經調整參數後也可適用於ν=1/5,1/7,……態。

最早把勞夫林波函數和波色電子想法聯接起來的是美國物理學者葛文（S. Girvin）與麥克當諾（A. H. MacDonald）。勞夫林還進一步寫下ν=1/3的激發態波函數，指出其中（准）粒子的電荷為±1/3e。大致上，我們可以這樣看：因為當ν=1/3時，每一個電子配有三個磁通量子，如果系統中多出一個磁通量子束沒有與電子相配，則相對於均勻的電荷分佈而言，此磁通量子束就好像帶有1/3的電子電荷。要仔細講其中的道理還需要更多的數學，筆者在這裡就不多說了。

量子霍爾效應是過去二十年間凝體物理研究最重要的進展之一，在實驗與理論方面都有令人驚訝的發現與創見。所以諾貝爾獎再度表彰這一領域多年來的成就，是十分恰當的。